(2-2) (3x+5) - (@+1) (52-2) = -4
Давайте подробно разберем задачу и решим уравнение.
Уравнение:
\[ \frac{(x-2)(3x+5)}{3} - \frac{(x+1)(5x-2)}{3} = -4 \]
Общий знаменатель:
Оба дробных выражения имеют одинаковый знаменатель 3, так что мы можем сначала избавиться от дробей, умножив всё уравнение на 3:\[ (x-2)(3x+5) - (x+1)(5x-2) = -12 \]
Раскрытие скобок:
Раскроем скобки в каждом из множителей:Для \((x-2)(3x+5)\):
\[ (x-2)(3x+5) = x(3x+5) - 2(3x+5) = 3x^2 + 5x - 6x - 10 = 3x^2 - x - 10 \]
Для \((x+1)(5x-2)\):
\[ (x+1)(5x-2) = x(5x-2) + 1(5x-2) = 5x^2 - 2x + 5x - 2 = 5x^2 + 3x - 2 \]
Подстановка раскрытых выражений обратно:
\[ (3x^2 - x - 10) - (5x^2 + 3x - 2) = -12 \]
Упрощение выражения:
\[ 3x^2 - x - 10 - 5x^2 - 3x + 2 = -12 \]
Объединим подобные члены:
\[ (3x^2 - 5x^2) + (-x - 3x) + (-10 + 2) = -12 \]
\[ -2x^2 - 4x - 8 = -12 \]
Приведение уравнения к стандартной форме и решение:
Добавим 12 к обеим частям уравнения:
\[ -2x^2 - 4x - 8 + 12 = 0 \]
\[ -2x^2 - 4x + 4 = 0 \]
Разделим на -2:
\[ x^2 + 2x - 2 = 0 \]
Решение уравнения методом дискриминанта:
Дискриминант (\(D\)) равен:
\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 4 + 8 = 12 \]
Корни уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} \]
\[ \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]
Значит:
\[ x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} \]
\[ x_1 = -1 + \sqrt{3}, \quad x_2 = -1 - \sqrt{3} \]
Таким образом, корни уравнения \(x = -1 + \sqrt{3}\) и \(x = -1 - \sqrt{3}\).
