3. 20% автомобильных аккумуляторов изготавливают на заводе в городе Ю. Остальные - на заводе в г. Д. В городе Ю. в среднем случается 7,5 % брака, а в городе Д. в среднем 2,5 %…

Для решения задачи нам нужно использовать теорему Байеса, которая позволяет находить условные вероятности. Давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Определение данных

1. Вероятности производства аккумуляторов:

   • Пусть \(A_Y\) — событие, что аккумулятор изготовлен в городе Ю.
   • Пусть \(A_D\) — событие, что аккумулятор изготовлен в городе Д.
   • Вероятность того, что аккумулятор изготавливают в Ю: \(P(A_Y) = 0.2\)
   • Вероятность того, что аккумулятор изготавливают в Д: \(P(A_D) = 0.8\)

2. Вероятности брака:

   • Вероятность брака для аккумуляторов из Ю: \(P(B | A_Y) = 0.075\)
   • Вероятность брака для аккумуляторов из Д: \(P(B | A_D) = 0.025\)

Шаг 2: Находим общую вероятность брака

Для нахождения общей вероятности бракованных аккумуляторов \(P(B)\) используем формулу полной вероятности: \[ P(B) = P(B | A_Y) \cdot P(A_Y) + P(B | A_D) \cdot P(A_D) \] Подставим известные значения: \[ P(B) = 0.075 \times 0.2 + 0.025 \times 0.8 \] Произведем вычисления: \[ P(B) = 0.015 + 0.02 = 0.035 \]

Шаг 3: Находим условную вероятность

Теперь мы можем найти вероятность того, что бракованный аккумулятор был произведен в Ю. Используем теорему Байеса: \[ P(A_Y | B) = \frac{P(B | A_Y) \cdot P(A_Y)}{P(B)} \] Подставим значения: \[ P(A_Y | B) = \frac{0.075 \times 0.2}{0.035} \] Теперь считаем: \[ P(A_Y | B) = \frac{0.015}{0.035} \approx 0.4286 \] Округляем до тысячных: \[ P(A_Y | B) \approx 0.429 \]

Ответ на пункт б:

Вероятность того, что бракованный аккумулятор изготовлен в Ю. равна 0.429.

Шаг 4: Вероятность хорошего аккумулятора из Д

1. Вероятность того, что аккумулятор хороший:
   • Для аккумуляторов из Ю: \(P(G | A_Y) = 1 - P(B | A_Y) = 1 - 0.075 = 0.925\)
   • Для аккумуляторов из Д: \(P(G | A_D) = 1 - P(B | A_D) = 1 - 0.025 = 0.975\)

Шаг 5: Используем теорему полной вероятности для хороших аккумуляторов

Теперь найдем вероятность того, что хороший аккумулятор был изготовлен в Д: \[ P(G) = P(G | A_Y) \cdot P(A_Y) + P(G | A_D) \cdot P(A_D) \] Подставляем: \[ P(G) = 0.925 \times 0.2 + 0.975 \times 0.8 \] Вычисляем: \[ P(G) = 0.185 + 0.78 = 0.965 \]

Шаг 6: Находим условную вероятность

Теперь используем теорему Байеса: \[ P(A_D | G) = \frac{P(G | A_D) \cdot P(A_D)}{P(G)} \] Подставим значения: \[ P(A_D | G) = \frac{0.975 \times 0.8}{0.965} \] Считаем: \[ P(A_D | G) = \frac{0.78}{0.965} \approx 0.8093 \] Округляем до тысячных: \[ P(A_D | G) \approx 0.809 \]

Ответ на пункт в:

Вероятность того, что хороший аккумулятор изготовлен в Д, равна 0.809.