Для решения задачи нам нужно использовать теорему Байеса, которая позволяет находить условные вероятности. Давайте разберем задачу по шагам.
Шаг 1: Определение данных
Вероятности производства аккумуляторов:
- Пусть (A_Y) — событие, что аккумулятор изготовлен в городе Ю.
- Пусть (A_D) — событие, что аккумулятор изготовлен в городе Д.
- Вероятность того, что аккумулятор изготавливают в Ю: (P(A_Y) = 0.2)
- Вероятность того, что аккумулятор изготавливают в Д: (P(A_D) = 0.8)
Вероятности брака:
- Вероятность брака для аккумуляторов из Ю: (P(B | A_Y) = 0.075)
- Вероятность брака для аккумуляторов из Д: (P(B | A_D) = 0.025)
Шаг 2: Находим общую вероятность брака
Для нахождения общей вероятности бракованных аккумуляторов (P(B)) используем формулу полной вероятности:
[
P(B) = P(B | A_Y) \cdot P(A_Y) + P(B | A_D) \cdot P(A_D)
]
Подставим известные значения:
[
P(B) = 0.075 \times 0.2 + 0.025 \times 0.8
]
Произведем вычисления:
[
P(B) = 0.015 + 0.02 = 0.035
]
Шаг 3: Находим условную вероятность
Теперь мы можем найти вероятность того, что бракованный аккумулятор был произведен в Ю. Используем теорему Байеса:
[
P(A_Y | B) = \frac{P(B | A_Y) \cdot P(A_Y)}{P(B)}
]
Подставим значения:
[
P(A_Y | B) = \frac{0.075 \times 0.2}{0.035}
]
Теперь считаем:
[
P(A_Y | B) = \frac{0.015}{0.035} \approx 0.4286
]
Округляем до тысячных:
[
P(A_Y | B) \approx 0.429
]
Ответ на пункт б:
Вероятность того, что бракованный аккумулятор изготовлен в Ю. равна 0.429.
Шаг 4: Вероятность хорошего аккумулятора из Д
- Вероятность того, что аккумулятор хороший:
- Для аккумуляторов из Ю: (P(G | A_Y) = 1 - P(B | A_Y) = 1 - 0.075 = 0.925)
- Для аккумуляторов из Д: (P(G | A_D) = 1 - P(B | A_D) = 1 - 0.025 = 0.975)
Шаг 5: Используем теорему полной вероятности для хороших аккумуляторов
Теперь найдем вероятность того, что хороший аккумулятор был изготовлен в Д:
[
P(G) = P(G | A_Y) \cdot P(A_Y) + P(G | A_D) \cdot P(A_D)
]
Подставляем:
[
P(G) = 0.925 \times 0.2 + 0.975 \times 0.8
]
Вычисляем:
[
P(G) = 0.185 + 0.78 = 0.965
]
Шаг 6: Находим условную вероятность
Теперь используем теорему Байеса:
[
P(A_D | G) = \frac{P(G | A_D) \cdot P(A_D)}{P(G)}
]
Подставим значения:
[
P(A_D | G) = \frac{0.975 \times 0.8}{0.965}
]
Считаем:
[
P(A_D | G) = \frac{0.78}{0.965} \approx 0.8093
]
Округляем до тысячных:
[
P(A_D | G) \approx 0.809
]
Ответ на пункт в:
Вероятность того, что хороший аккумулятор изготовлен в Д, равна 0.809.
