Найдите сумму всех положительных целых чисел a для которых существуют ровно 2014 положительных целых чисел b таких что 2 меньше b/a меньше пять

Чтобы решить задачу, давайте сначала разберем условие. Нам нужно найти все положительные целые числа \( a \), для которых существует ровно 2014 положительных целых чисел \( b \), таких что:

\[ 2 < \frac{b}{a} < 5. \]

Это неравенство можно переписать в виде двух отдельных неравенств:

1. \(\frac{b}{a} > 2\) → \(b > 2a\)
2. \(\frac{b}{a} < 5\) → \(b < 5a\)

Теперь объединим эти два неравенства:

\[ 2a < b < 5a. \]

Следовательно, значение \( b \) должно находиться в интервале от \( 2a \) до \( 5a \). Новый интервал можно выразить как:

\[ b \in (2a, 5a). \]

Чтобы узнать, сколько целых чисел \( b \) существует в этом интервале, найдем разницу между верхним и нижним пределами. Количество целых чисел в интервале можно получить следующим образом:

\[ \text{Количество } b = (5a - 1) - (2a + 1) + 1 = 5a - 2a - 1 + 1 = 3a - 1. \]

Мы знаем, что количество целых чисел \( b \) равно 2014:

\[ 3a - 1 = 2014. \]

Решим это уравнение для \( a \):

\[ 3a = 2014 + 1 = 2015, \] \[ a = \frac{2015}{3} = 671.6667. \]

Поскольку \( a \) должно быть целым числом, данное значение не подходит. Давайте произведем округление и рассмотрим целые числа для \( a \).

Проверим ближайшие целые значения \( a \):

1. Для \( a = 672 \): \[ 3 \cdot 672 - 1 = 2015. \] Действительно, это не равно 2014.

2. Для \( a = 671 \): \[ 3 \cdot 671 - 1 = 2012. \] Это также не равно 2014.

3. Для \( a = 670 \): \[ 3 \cdot 670 - 1 = 2009. \] Это опять не подходит.

Обратите внимание, что количество \( b \) зависит линейно от \( a \). Это значит, что \( a \) должно быть равно \( 671 + k \) (где \( k \) — положительные целые числа).

Таким образом, для \( a \) будем подбирать значения, начиная с 672 и проверяя, попадает ли оно в указанный диапазон.

Из уравнения \( 3a - 1 = 2014 \), получается, что:

\[ 3a = 2015 \implies a = 671.6. \]

Используя целое \( 2015 \):

1. \( 2a + 1 \) также позволяет проверять существование корректного значения, что у нас не получается. Значит, сами числа имеют другие условия.

Перепроверив, \( a = 671 \) для 2014 и \( a = 672 \):

• Для \( 671 \) получается 2012,
• Для \( 672 \) получается 2015.

Таким образом,

Вывод: нет целых \( a \) для существующих \( b \) с указанным значением.

Сумма всех положительных целых \( a \) тогда у нас=0.

Ответ: 0.