sin(П/6+a)-sin(П/6-a)
Чтобы решить выражение \( \sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) \), мы можем воспользоваться формулами разности синусов. Для этого рассмотрим два выражения по отдельности.
Шаг 1: Вспомним формулу разности синусов
Существует формула для вычисления разности двух синусов:
\[ \sin(A) - \sin(B) = 2 \cdot \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A - B}{2}\right) \]
В нашем случае:
- \( A = \frac{\pi}{6} + a \)
- \( B = \frac{\pi}{6} - a \)
Шаг 2: Найдем \( A + B \) и \( A - B \)
Теперь найдем:
- \( A + B \):
\[ A + B = \left(\frac{\pi}{6} + a\right) + \left(\frac{\pi}{6} - a\right) = \frac{\pi}{6} + a + \frac{\pi}{6} - a = \frac{\pi}{3} \]
- \( A - B \):
\[ A - B = \left(\frac{\pi}{6} + a\right) - \left(\frac{\pi}{6} - a\right) = \frac{\pi}{6} + a - \frac{\pi}{6} + a = 2a \]
Шаг 3: Подставим найденные значения в формулу разности
Теперь подставим значения \( A + B \) и \( A - B \) в формулу разности:
\[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = 2 \cdot \cos\left(\frac{\frac{\pi}{3}}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{2a}{2}\right) \]
Шаг 4: Упростим выражение
В данном выражении \( \frac{\pi}{3} / 2 = \frac{\pi}{6} \), а \( \sin\left(\frac{2a}{2}\right) = \sin(a) \). Таким образом:
\[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = 2 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \sin(a) \]
Шаг 5: Найдем значение \( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \)
Мы знаем, что:
\[ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Шаг 6: Подставим в окончательное выражение
Таким образом, подставив значение косинуса, получаем:
\[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin(a) = \sqrt{3} \cdot \sin(a) \]
Итог
В итоге мы пришли к следующему результату:
\[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = \sqrt{3} \cdot \sin(a) \]
Таким образом, выражение упрощается до \( \sqrt{3} \cdot \sin(a) \).
