Sin(П/6+a)-sin(П/6-a)

Чтобы решить выражение \( \sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) \), мы можем воспользоваться формулами разности синусов. Для этого рассмотрим два выражения по отдельности. ### Шаг 1: Вспомним формулу разности синусов Существует формула для вычисления разности двух синусов: \[ \sin(A) - \sin(B) = 2 \cdot \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A - B}{2}\right) \] В нашем случае: - \( A = \frac{\pi}{6} + a \) - \( B = \frac{\pi}{6} - a \) ### Шаг 2: Найдем \( A + B \) и \( A - B \) Теперь найдем: 1. \( A + B \): \[ A + B = \left(\frac{\pi}{6} + a\right) + \left(\frac{\pi}{6} - a\right) = \frac{\pi}{6} + a + \frac{\pi}{6} - a = \frac{\pi}{3} \] 2. \( A - B \): \[ A - B = \left(\frac{\pi}{6} + a\right) - \left(\frac{\pi}{6} - a\right) = \frac{\pi}{6} + a - \frac{\pi}{6} + a = 2a \] ### Шаг 3: Подставим найденные значения в формулу разности Теперь подставим значения \( A + B \) и \( A - B \) в формулу разности: \[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = 2 \cdot \cos\left(\frac{\frac{\pi}{3}}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{2a}{2}\right) \] ### Шаг 4: Упростим выражение В данном выражении \( \frac{\pi}{3} / 2 = \frac{\pi}{6} \), а \( \sin\left(\frac{2a}{2}\right) = \sin(a) \). Таким образом: \[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = 2 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \sin(a) \] ### Шаг 5: Найдем значение \( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \) Мы знаем, что: \[ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] ### Шаг 6: Подставим в окончательное выражение Таким образом, подставив значение косинуса, получаем: \[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin(a) = \sqrt{3} \cdot \sin(a) \] ### Итог В итоге мы пришли к следующему результату: \[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = \sqrt{3} \cdot \sin(a) \] Таким образом, выражение упрощается до \( \sqrt{3} \cdot \sin(a) \).