Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(х)=х^3-6х^2+9х+2 на отрезке [0;4]
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 \) на отрезке \([0; 4]\), мы будем следовать следующим шагам:
Шаг 1: Находим производную функции
Сначала найдем первую производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x + 2) = 3x^2 - 12x + 9 \]
Шаг 2: Находим критические точки
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \]
Можно упростить уравнение, разделив на 3:
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
Теперь раскроем его на множители:
\[ (x - 3)(x - 1) = 0 \]
Таким образом, критические точки:
\[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = 3 \]
Шаг 3: Проверяем критические точки и концы отрезка
Теперь нужно оценить значения функции в критических точках и на концах отрезка \( [0; 4] \):
\( f(0) \): \[ f(0) = 0^3 - 6 \cdot 0^2 + 9 \cdot 0 + 2 = 2 \]
\( f(1) \): \[ f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + 2 = 1 - 6 + 9 + 2 = 6 \]
\( f(3) \): \[ f(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 + 2 = 27 - 54 + 27 + 2 = 2 \]
\( f(4) \): \[ f(4) = 4^3 - 6 \cdot 4^2 + 9 \cdot 4 + 2 = 64 - 96 + 36 + 2 = 6 \]
Шаг 4: Сравниваем значения
Теперь мы сравниваем значения \( f(0) \), \( f(1) \), \( f(3) \), и \( f(4) \):
- \( f(0) = 2 \)
- \( f(1) = 6 \)
- \( f(3) = 2 \)
- \( f(4) = 6 \)
Шаг 5: Находим наибольшее и наименьшее значение
Наибольшее значение функции на отрезке \([0, 4]\) равно \( 6 \), которое достигается в точках \( x = 1 \) и \( x = 4 \).
Наименьшее значение функции равно \( 2 \), которое достигается в точках \( x = 0 \) и \( x = 3 \).
Ответ
- Наибольшее значение: \( 6 \)
- Наименьшее значение: \( 2 \)
