Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции ( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 ) на отрезке ([0; 4]), мы будем следовать следующим шагам:
Шаг 1: Находим производную функции
Сначала найдем первую производную функции ( f(x) ):
[
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x + 2) = 3x^2 - 12x + 9
]
Шаг 2: Находим критические точки
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение:
[
3x^2 - 12x + 9 = 0
]
Можно упростить уравнение, разделив на 3:
[
x^2 - 4x + 3 = 0
]
Теперь раскроем его на множители:
[
(x - 3)(x - 1) = 0
]
Таким образом, критические точки:
[
x = 1 \quad \text{и} \quad x = 3
]
Шаг 3: Проверяем критические точки и концы отрезка
Теперь нужно оценить значения функции в критических точках и на концах отрезка ( [0; 4] ):
( f(0) ):
[
f(0) = 0^3 - 6 \cdot 0^2 + 9 \cdot 0 + 2 = 2
]
( f(1) ):
[
f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + 2 = 1 - 6 + 9 + 2 = 6
]
( f(3) ):
[
f(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 + 2 = 27 - 54 + 27 + 2 = 2
]
( f(4) ):
[
f(4) = 4^3 - 6 \cdot 4^2 + 9 \cdot 4 + 2 = 64 - 96 + 36 + 2 = 6
]
Шаг 4: Сравниваем значения
Теперь мы сравниваем значения ( f(0) ), ( f(1) ), ( f(3) ), и ( f(4) ):
- ( f(0) = 2 )
- ( f(1) = 6 )
- ( f(3) = 2 )
- ( f(4) = 6 )
Шаг 5: Находим наибольшее и наименьшее значение
Наибольшее значение функции на отрезке ([0, 4]) равно ( 6 ), которое достигается в точках ( x = 1 ) и ( x = 4 ).
Наименьшее значение функции равно ( 2 ), которое достигается в точках ( x = 0 ) и ( x = 3 ).
Ответ
- Наибольшее значение: ( 6 )
- Наименьшее значение: ( 2 )
