Найдите наибольшее и значение функции у=3х^5-5х^3+16 на отрезке [-4;0]

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \( y = 3x^5 - 5x^3 + 16 \) на отрезке \( [-4; 0] \), необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найти производную функции

Производная функции позволяет определить критические точки, в которых производная равна нулю или не существует. Находим производную функции \( y \):

\[ y' = \frac{d}{dx}(3x^5 - 5x^3 + 16) \]

Сначала, применим правила дифференцирования:

\[ y' = 15x^4 - 15x^2 \]

Теперь можем упростить её:

\[ y' = 15x^2 (x^2 - 1) \]

Шаг 2: Найти критические точки

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

\[ 15x^2 (x^2 - 1) = 0 \]

Это равенство равно нулю, если:

1. \( 15x^2 = 0 \) \(\Rightarrow x = 0\)
2. \( x^2 - 1 = 0 \) \(\Rightarrow x = \pm 1\)

Таким образом, критическими точками являются \( x = 0 \) и \( x = -1 \).

Шаг 3: Определить, находятся ли критические точки на отрезке

Теперь нужно проверить, находятся ли все критические точки в интервале \( [-4; 0] \):

• \( x = 0 \) — находится на отрезке.
• \( x = -1 \) — также находится на отрезке.
• \( x = 1 \) — не находится на отрезке и его можно игнорировать.

Шаг 4: Найти значения функции на критических точках и на концах отрезка

Теперь нужно найти значения функции в критических точках и на концах отрезка \( x = -4 \) и \( x = 0 \).

1. \( x = -4 \): \[ y(-4) = 3(-4)^5 - 5(-4)^3 + 16 = 3(-1024) - 5(-64) + 16 = -3072 + 320 + 16 = -2736 \]

2. \( x = -1 \): \[ y(-1) = 3(-1)^5 - 5(-1)^3 + 16 = 3(-1) - 5(-1) + 16 = -3 + 5 + 16 = 18 \]

3. \( x = 0 \): \[ y(0) = 3(0)^5 - 5(0)^3 + 16 = 0 + 0 + 16 = 16 \]

Шаг 5: Сравнить значения

Теперь мы получили значения функции:

• \( y(-4) = -2736 \)
• \( y(-1) = 18 \)
• \( y(0) = 16 \)

Шаг 6: Найти наибольшее и наименьшее значения

Теперь сравним все три значения:

• Наименьшее значение: \( -2736 \) (при \( x = -4 \))
• Наибольшее значение: \( 18 \) (при \( x = -1 \))

Ответ

• Наибольшее значение функции на отрезке \([-4; 0]\): \( 18 \) (при \( x = -1 \))
• Наименьшее значение функции на отрезке \([-4; 0]\): \( -2736 \) (при \( x = -4 \))