Найти sinα и tgα если cosα=9/41 и 3π/2<α<2π

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть значение косинуса угла \( \alpha \): \( \cos \alpha = \frac{9}{41} \) и угол находится в третьем или четвертом квадранте (\( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \)). ### Шаг 1: Находим синус угла \( \alpha \) Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Подставим известное значение \( \cos \alpha \): \[ \sin^2 \alpha + \left(\frac{9}{41}\right)^2 = 1 \] Сначала вычислим \( \left(\frac{9}{41}\right)^2 \): \[ \left(\frac{9}{41}\right)^2 = \frac{81}{1681} \] Теперь подставим это значение в уравнение: \[ \sin^2 \alpha + \frac{81}{1681} = 1 \] Чтобы избавиться от дроби, вычтем \( \frac{81}{1681} \) из 1: \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{81}{1681} \] Преобразуем 1, чтобы вычесть дробь: \[ 1 = \frac{1681}{1681} \Rightarrow \sin^2 \alpha = \frac{1681 - 81}{1681} = \frac{1600}{1681} \] Теперь найдём \( \sin \alpha \): \[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{1600}{1681}} = \pm \frac{40}{41} \] Так как мы знаем, что угол \( \alpha \) находится в третьем или четвёртом квадранте, нам необходимо определить знак синуса: - В третьем квадранте \( \sin \) отрицательный. - В четвёртом квадранте \( \sin \) положительный. Так как угол находится в третьем (в соответствии с заданным диапазоном), выбираем отрицательное значение: \[ \sin \alpha = -\frac{40}{41} \] ### Шаг 2: Находим тангенс угла \( \alpha \) Формула для тангенса: \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] Подставим известные values: \[ \tan \alpha = \frac{-\frac{40}{41}}{\frac{9}{41}} = -\frac{40}{9} \] ### Ответ Таким образом, мы получили: \[ \sin \alpha = -\frac{40}{41}, \quad \tan \alpha = -\frac{40}{9} \]