Знаменатель правильной дроби на 1 1 больше числителя. Если числитель и знаменатель уменьшить на 2 2 , то дробь уменьшится на 1 4 . 4 1 . Найди исходную дробь. Запиши в каждое…
Знаменатель правильной дроби на 1 1 больше числителя. Если числитель и знаменатель уменьшить на 2 2, то дробь уменьшится на 1 4 . 4 1 . Найди исходную дробь. Запиши в каждое поле ответа верное число или выражение без пробелов. Для обозначения обыкновенной дроби используй /. Пусть числитель дроби равен x , x, тогда знаменатель равен . Если числитель уменьшить на 2 2, он будет равен . Если знаменатель уменьшить на 2 2, он будет равен . Так как новая дробь на 1 4 4 1 меньше, получим уравнение: x x + 1 − x − 2 x − 1 = x+1 x − x−1 x−2 = . Корни в порядке возрастания: x 1 = x 1 = , x 2 = x 2 = . Если числитель исходной дроби равен x 1 = x 1 = , то знаменатель равен : получается неправильная дробь, что не соответствует условию. Значит, числитель исходной дроби равен , знаменатель равен .
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Обозначения: Обозначим:
- \( x \) — числитель дроби.
- Тогда, по условию, знаменатель будет равен \( x + 1 \) (числитель на 1 меньше знаменателя).
Также по условию: Если мы уменьшаем числитель и знаменатель на 2, то:
- новый числитель будет равен \( x - 2 \),
- новый знаменатель будет равен \( (x + 1) - 2 = x - 1 \).
Уменьшение дроби: Сформируем дробь до и после уменьшения:
- Исходная дробь: \( \frac{x}{x + 1} \)
- Дробь после уменьшения: \( \frac{x - 2}{x - 1} \)
Условие задачи: Согласно условию, новая дробь на \( \frac{1}{4} \) меньше исходной дроби. Запишем уравнение: \[ \frac{x - 2}{x - 1} = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{4} \]
Переносим все в одну сторону: Приведем дроби к общему знаменателю. Левую часть оставим без изменений для начала, но правую приведем: \[ \frac{x - 2}{x - 1} - \left( \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{4} \right) = 0 \] Приведем правую часть к общему знаменателю \( 4(x + 1) \): \[ \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{4} = \frac{4x - (x + 1)}{4(x + 1)} = \frac{3x - 1}{4(x + 1)} \] Теперь наше уравнение выглядит так: \[ \frac{x - 2}{x - 1} - \frac{3x - 1}{4(x + 1)} = 0 \]
Умножим обе части уравнения на \( 4(x - 1)(x + 1) \) для уничтожения дробей: \[ 4(x - 2)(x + 1) = (3x - 1)(x - 1) \]
Раскроем скобки: Левую часть: \[ 4(x^2 - x - 2) = 4x^2 - 4x - 8 \] Правую часть: \[ 3x^2 - 3x - x + 1 = 3x^2 - 4x + 1 \]
Подставим: \[ 4x^2 - 4x - 8 = 3x^2 - 4x + 1 \]
Соберем все в одну сторону: \[ 4x^2 - 3x^2 - 4x + 4x - 8 - 1 = 0 \] \[ x^2 - 9 = 0 \]
Решим уравнение: \[ (x - 3)(x + 3) = 0 \] Таким образом, \( x = 3 \) или \( x = -3 \). Но так как числитель должен быть положительным, принимаем \( x = 3 \).
Найдем знаменатель: Знаменатель равен \( x + 1 = 3 + 1 = 4 \).
Ответ: Исходная дробь: \[ \frac{3}{4} \]
Таким образом, числитель дроби равен \( 3 \), знаменатель равен \( 4 \), а дробь равна \( 3/4 \).
