В треугольнике  D F R DFR провели прямую, параллельную стороне  F R FR так, что она пересекает стороны  D F DF и  D R DR в точках  S S и  Q Q, соответственно. Найди длину стороны  D F DF и площадь треугольника  D F R DFR, если площадь треугольника  D S Q DSQ равна  42 42 см 2 2 ,  S Q = 7 SQ=7 см,  D S = 15 DS=15 см,  F R = 14 FR=14 см.

Для решения данной задачи будем использовать свойства подобных треугольников и пропорции. ### Шаг 1: Понять условия задачи 1. У нас есть треугольник \( \triangle DFR \). 2. Прямая параллельная стороне \( FR \) пересекает стороны \( DF \) и \( DR \) в точках \( S \) и \( Q \) соответственно. 3. Дана площадь треугольника \( \triangle DSQ = 42 \, \text{см}^2 \). 4. Длину отрезка \( SQ = 7 \, \text{см} \). 5. Длину отрезка \( DS = 15 \, \text{см} \). 6. Длина стороны \( FR = 14 \, \text{см} \). ### Шаг 2: Использовать свойства подобных треугольников Поскольку прямая, проходящая через точки \( S \) и \( Q \), параллельна стороне \( FR \), это означает, что треугольники \( \triangle DFR \) и \( \triangle DSQ \) являются подобными. Это происходит по признаку «параллельные линии» (треугольники, образованные пересечением параллельной линии и двух сторон треугольника, являются подобными). ### Шаг 3: Найти коэффициент подобия 1. Найдем отношение их оснований: \[ \frac{SQ}{FR} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \] Это означает, что коэффициент подобия \( k = \frac{1}{2} \). ### Шаг 4: Найти площадь треугольника \( DFR \) Поскольку площади подобных треугольников соотносятся как квадрат коэффициента подобия, можем записать: \[ \frac{S_{DSQ}}{S_{DFR}} = k^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \] Теперь выразим площадь треугольника \( DFR \): \[ S_{DFR} = S_{DSQ} \cdot \left( \frac{1}{k^2} \right) = 42 \cdot 4 = 168 \, \text{см}^2 \] ### Шаг 5: Найти длину стороны \( DF \) Поскольку мы знаем, что стороны также соотносятся по коэффициенту подобия, можем записать: \[ \frac{DS}{DF} = \frac{1}{2} \] Отсюда найдём длину стороны \( DF \): \[ DF = DS \cdot 2 = 15 \cdot 2 = 30 \, \text{см} \] ### Итоговые результаты - Длина стороны \( DF = 30 \, \text{см} \) - Площадь треугольника \( DFR = 168 \, \text{см}^2 \) Таким образом, мы получили ответ: - Длина стороны \( DF \) составляет \( 30 \, \text{см} \). - Площадь треугольника \( DFR \) составляет \( 168 \, \text{см}^2 \).