В треугольнике D F R DFR провели прямую, параллельную стороне F R FR так, что она пересекает стороны D F DF и D R DR в точках S S и Q Q , соответственно. Найди длину стороны D F…
В треугольнике D F R DFR провели прямую, параллельную стороне F R FR так, что она пересекает стороны D F DF и D R DR в точках S S и Q Q, соответственно. Найди длину стороны D F DF и площадь треугольника D F R DFR, если площадь треугольника D S Q DSQ равна 42 42 см 2 2 , S Q = 7 SQ=7 см, D S = 15 DS=15 см, F R = 14 FR=14 см.
Для решения данной задачи будем использовать свойства подобных треугольников и пропорции.
Шаг 1: Понять условия задачи
- У нас есть треугольник \( \triangle DFR \).
- Прямая параллельная стороне \( FR \) пересекает стороны \( DF \) и \( DR \) в точках \( S \) и \( Q \) соответственно.
- Дана площадь треугольника \( \triangle DSQ = 42 \, \text{см}^2 \).
- Длину отрезка \( SQ = 7 \, \text{см} \).
- Длину отрезка \( DS = 15 \, \text{см} \).
- Длина стороны \( FR = 14 \, \text{см} \).
Шаг 2: Использовать свойства подобных треугольников
Поскольку прямая, проходящая через точки \( S \) и \( Q \), параллельна стороне \( FR \), это означает, что треугольники \( \triangle DFR \) и \( \triangle DSQ \) являются подобными. Это происходит по признаку «параллельные линии» (треугольники, образованные пересечением параллельной линии и двух сторон треугольника, являются подобными).
Шаг 3: Найти коэффициент подобия
- Найдем отношение их оснований:
\[ \frac{SQ}{FR} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \]
Это означает, что коэффициент подобия \( k = \frac{1}{2} \).
Шаг 4: Найти площадь треугольника \( DFR \)
Поскольку площади подобных треугольников соотносятся как квадрат коэффициента подобия, можем записать:
\[ \frac{S_{DSQ}}{S_{DFR}} = k^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \]
Теперь выразим площадь треугольника \( DFR \):
\[ S_{DFR} = S_{DSQ} \cdot \left( \frac{1}{k^2} \right) = 42 \cdot 4 = 168 \, \text{см}^2 \]
Шаг 5: Найти длину стороны \( DF \)
Поскольку мы знаем, что стороны также соотносятся по коэффициенту подобия, можем записать:
\[ \frac{DS}{DF} = \frac{1}{2} \]
Отсюда найдём длину стороны \( DF \):
\[ DF = DS \cdot 2 = 15 \cdot 2 = 30 \, \text{см} \]
Итоговые результаты
- Длина стороны \( DF = 30 \, \text{см} \)
- Площадь треугольника \( DFR = 168 \, \text{см}^2 \)
Таким образом, мы получили ответ:
- Длина стороны \( DF \) составляет \( 30 \, \text{см} \).
- Площадь треугольника \( DFR \) составляет \( 168 \, \text{см}^2 \).
