( 1 1/5 + 2 3/10) % 1/2 + (6 3/4 - 2 2/3) % 1 1/6=

Чтобы решить данную задачу, давайте разберём её по шагам. Мы должны вычислить следующее выражение:

\[ (1 \frac{1}{5} + 2 \frac{3}{10}) \mod \frac{1}{2} + (6 \frac{3}{4} - 2 \frac{2}{3}) \mod 1 \frac{1}{6} \]

Шаг 1: Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

1. Первое смешанное число: \(1 \frac{1}{5} = 1 + \frac{1}{5} = \frac{5}{5} + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}\)

   Второе смешанное число: \(2 \frac{3}{10} = 2 + \frac{3}{10} = \frac{20}{10} + \frac{3}{10} = \frac{23}{10}\)

2. Третье смешанное число: \(6 \frac{3}{4} = 6 + \frac{3}{4} = \frac{24}{4} + \frac{3}{4} = \frac{27}{4}\)

   Четвертое смешанное число: \(2 \frac{2}{3} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}\)

3. Пятое смешанное число: \(1 \frac{1}{6} = 1 + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}\)

Шаг 2: Выполним арифметические операции.

1. Сложение дробей \((1 \frac{1}{5} + 2 \frac{3}{10})\): \[ \frac{6}{5} + \frac{23}{10} \] Приведём к общему знаменателю (10): \[ \frac{6}{5} = \frac{12}{10} \] Теперь складываем: \[ \frac{12}{10} + \frac{23}{10} = \frac{35}{10} = \frac{7}{2} \]

   Далее, нам нужно найти \(\frac{7}{2} \mod \frac{1}{2}\).

   Чтобы найти модуль, мы видим, что \(\frac{7}{2} = 3.5\) имеет целую часть 3, и \(3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\). Таким образом, мы вычтем: \[ \frac{7}{2} - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2. \]

2. Вычитание дробей \((6 \frac{3}{4} - 2 \frac{2}{3})\): \[ \frac{27}{4} - \frac{8}{3} \] Приведем к общему знаменателю (12): \[ \frac{27}{4} = \frac{81}{12}, \quad \frac{8}{3} = \frac{32}{12} \] Теперь вычитаем: \[ \frac{81}{12} - \frac{32}{12} = \frac{49}{12} \]

   Далее находим \(\frac{49}{12} \mod \frac{7}{6}\):

   Приведём \(\frac{49}{12}\) к смешанному виду: \[ \frac{49}{12} = 4 \cdot \frac{1}{12} + \frac{1}{12}. \] Теперь целая часть равна 4, значит, \(\frac{4 \cdot 7}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3} = \frac{4.6667}\).

   Сравниваем: \[ \frac{49}{12} - \frac{4 \cdot 7}{6} \]

   Упрощая, считая: \( \frac{49}{12} - \frac{28}{6} = \frac{49 - 56}{12} = \frac{-7}{12}\). Это не подходит. Мы должны выбрать ближайшее целое значение, откуда модуль получится 1/4.

Шаг 3: Подведение итогов и сложение:

Теперь у нас есть:

• Первый модуль: \(2\)
• Второй модуль: \( \frac{7}{12} \)

Теперь суммируем: \[ 2 + \frac{7}{12} = \frac{24}{12} + \frac{7}{12} = \frac{31}{12}. \]

Ответ:

\[ \frac{31}{12} \text{ или } 2 \frac{7}{12}. \]