C 202 13:11 20 Контрольная работа по теме «Производные» Вариант 7. Найдите производную функции 1) у=2х²+6x²+9; 2) у = x²+10√x; 3) y=5x-4) y=ctg6x; X 4x+7 5) y= x 16+4x³-11x; 6) y=(x+3)-(x-2); 7) y = x(x - 7); 8) y=x2; 9) y=3x²+1 x-2 10) y= COS X x+5 2. Найти уравнение касательной K абсциссой Хо, если f(x) = -5x²+x-1, x = -3. функции у = f(х) в графику точке 3. Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x) = x³-x²-x+2

1) 1) Найдем производные по очереди: 1) y = 2x² + 6x² + 9 y' = 4x + 12x = 16x 2) y = x² + 10√x y' = 2x + 10 * (1/2)x^(-1/2) = 2x + 5/x^(1/2) = 2x + 5/√x 3) y = 5x - 4 y' = 5 4) y = ctg(6x) y' = -csc²(6x) * 6 = -6csc²(6x) 5) y = x/(4x+7) y' = (4x+7) - x*4/(4x+7)^2 = (4x+7 - 4x)/(4x+7)^2 = 7/(4x+7)^2 6) y = x^(16+4x³-11x) y' = (16+4x³-11x)*x^(15+4x²-11) = (16+4x³-11x)x^(15+4x²-11) 7) y = (x+3)/(x-2) y' = [(x-2)-(x+3)]/(x-2)^2 = (-5)/(x-2)^2 8) y = x/x² y' = (1*x² - x*2x)/(x²)² = (x² - 2x²)/(x²)² = -x/(x^4) = -1/x^3 9) y = 3x² + 1/x-2 y' = 6x - 1/(x-2)^2 10) y = COS(x)/(x+5) y' = (-SIN(x)(x+5) - COS(x))/(x+5)^2 2) Для нахождения уравнения касательной к f(x) в точке x = -3, найдем значение тангенсальной (касательной) наклона кривой и точку на графике. f(x) = -5x² + x - 1 f'(-3) = -10(-3) + 1 = 30 + 1 = 31 Таким образом, уравнение касательной K в точке x = -3 будет иметь вид: y = 31(x+3) + f(-3) 3) Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции f(x) = x³ - x² - x + 2, найдем производную функции и выясним ее знаки на интервалах. f'(x) = 3x² - 2x - 1 Теперь найдем критические точки, равные нулю: 3x² - 2x - 1 = 0 x = 1 or x = -1/3 Используем тест отметок для определения интервалов возрастания и убывания: При x < -1/3 f'(x) < 0, значит, функция убывает. При -1/3 < x < 1 f'(x) > 0, значит, функция возрастает. При x > 1 f'(x) < 0, значит, функция убывает. Итак, функция f(x) = x³ - x² - x + 2 возрастает при -1/3 < x < 1 и убывает вне этого интервала.