Найти наименьшее и наибольшее значение f(x)=6x^2-x^3 на отрезке [-1;6]

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции \( f(x) = 6x^2 - x^3 \) на отрезке \([-1, 6]\), нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдите производную функции

Для начала найдем производную функции \( f(x) \), чтобы определить критические точки:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - x^3) = 12x - 3x^2 \]

Шаг 2: Найдите критические точки

Критические точки можно найти, приравняв производную к нулю:

\[ 12x - 3x^2 = 0 \]

Вынесем общий множитель:

\[ 3x(4 - x) = 0 \]

Это уравнение имеет два решения:

1. \( 3x = 0 \) \(\Rightarrow x = 0\)
2. \( 4 - x = 0 \) \(\Rightarrow x = 4\)

Шаг 3: Оцените значения функции в критических точках и на границах отрезка

Теперь нам нужно оценить значения функции \( f(x) \) в критических точках \( x = 0 \) и \( x = 4 \), а также на границах отрезка \( x = -1 \) и \( x = 6 \):

1. \( f(-1) = 6(-1)^2 - (-1)^3 = 6(1) + 1 = 6 + 1 = 7 \)
2. \( f(0) = 6(0)^2 - (0)^3 = 0 \)
3. \( f(4) = 6(4)^2 - (4)^3 = 6(16) - 64 = 96 - 64 = 32 \)
4. \( f(6) = 6(6)^2 - (6)^3 = 6(36) - 216 = 216 - 216 = 0 \)

Шаг 4: Сравните полученные значения

Теперь сравним все найденные значения функции:

• \( f(-1) = 7 \)
• \( f(0) = 0 \)
• \( f(4) = 32 \)
• \( f(6) = 0 \)

Шаг 5: Назначьте наибольшее и наименьшее значение

Из этих значений:

• Наименьшее значение: \( 0 \) (достигнуто в точках \( x = 0 \) и \( x = 6 \))
• Наибольшее значение: \( 32 \) (достигнуто в точке \( x = 4 \))

Ответ

Наименьшее значение функции на отрезке \([-1, 6]\) равно \( 0 \), а наибольшее значение равно \( 32 \).