Найти наименьшее и наибольшее значение f(x)=6x^2-x^3 на отрезке [-1;6]

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции \( f(x) = 6x^2 - x^3 \) на отрезке \([-1, 6]\), нужно выполнить следующие шаги: ### Шаг 1: Найдите производную функции Для начала найдем производную функции \( f(x) \), чтобы определить критические точки: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - x^3) = 12x - 3x^2 \] ### Шаг 2: Найдите критические точки Критические точки можно найти, приравняв производную к нулю: \[ 12x - 3x^2 = 0 \] Вынесем общий множитель: \[ 3x(4 - x) = 0 \] Это уравнение имеет два решения: 1. \( 3x = 0 \) \(\Rightarrow x = 0\) 2. \( 4 - x = 0 \) \(\Rightarrow x = 4\) ### Шаг 3: Оцените значения функции в критических точках и на границах отрезка Теперь нам нужно оценить значения функции \( f(x) \) в критических точках \( x = 0 \) и \( x = 4 \), а также на границах отрезка \( x = -1 \) и \( x = 6 \): 1. \( f(-1) = 6(-1)^2 - (-1)^3 = 6(1) + 1 = 6 + 1 = 7 \) 2. \( f(0) = 6(0)^2 - (0)^3 = 0 \) 3. \( f(4) = 6(4)^2 - (4)^3 = 6(16) - 64 = 96 - 64 = 32 \) 4. \( f(6) = 6(6)^2 - (6)^3 = 6(36) - 216 = 216 - 216 = 0 \) ### Шаг 4: Сравните полученные значения Теперь сравним все найденные значения функции: - \( f(-1) = 7 \) - \( f(0) = 0 \) - \( f(4) = 32 \) - \( f(6) = 0 \) ### Шаг 5: Назначьте наибольшее и наименьшее значение Из этих значений: - Наименьшее значение: \( 0 \) (достигнуто в точках \( x = 0 \) и \( x = 6 \)) - Наибольшее значение: \( 32 \) (достигнуто в точке \( x = 4 \)) ### Ответ Наименьшее значение функции на отрезке \([-1, 6]\) равно \( 0 \), а наибольшее значение равно \( 32 \).