Найти наименьшее и наибольшее значение f(x)=х^3-3х^2-9х+35 на отрезке [-4; 4]

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 35 \) на заданном отрезке \([-4, 4]\), нужно выполнить несколько шагов. ### Шаг 1: Найти производную функции Для начала найдём производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 \] ### Шаг 2: Найти критические точки Критические точки функции находятся, когда производная равна нулю: \[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \] Упрощаем уравнение, разделив его на 3: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого можем воспользоваться формулой: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3\). Подставим значения: \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] Таким образом, получаем два критических значения: \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \] ### Шаг 3: Проверить критические точки и границы отрезка Теперь нам нужно проверить значения функции \( f(x) \) в критических точках и на границах отрезка \([-4, 4]\): - \( f(-4) \) - \( f(-1) \) - \( f(3) \) - \( f(4) \) Рассчитаем эти значения: 1. **На границе \( x = -4 \)**: \[ f(-4) = (-4)^3 - 3(-4)^2 - 9(-4) + 35 = -64 - 48 + 36 + 35 = -41 \] 2. **На критической точке \( x = -1 \)**: \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 35 = -1 - 3 + 9 + 35 = 40 \] 3. **На критической точке \( x = 3 \)**: \[ f(3) = 3^3 - 3(3^2) - 9(3) + 35 = 27 - 27 - 27 + 35 = 8 \] 4. **На границе \( x = 4 \)**: \[ f(4) = 4^3 - 3(4^2) - 9(4) + 35 = 64 - 48 - 36 + 35 = 15 \] ### Шаг 4: Найти наименьшее и наибольшее значение Теперь сравним все найденные значения: - \( f(-4) = -41 \) - \( f(-1) = 40 \) - \( f(3) = 8 \) - \( f(4) = 15 \) Наименьшее значение функции на отрезке \([-4, 4]\) равно **-41** (при \( x = -4 \)), а наибольшее значение равно **40** (при \( x = -1 \)). ### Ответ - Наименьшее значение \( f(x) \) на отрезке \([-4, 4]\): **-41** - Наибольшее значение \( f(x) \) на отрезке \([-4, 4]\): **40**