Найти наименьшее и наибольшее значение f(x)=х^3-3х^2-9х+35 на отрезке [-4; 4]
Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 35 \) на заданном отрезке \([-4, 4]\), нужно выполнить несколько шагов.
Шаг 1: Найти производную функции
Для начала найдём производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 \]
Шаг 2: Найти критические точки
Критические точки функции находятся, когда производная равна нулю: \[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \] Упрощаем уравнение, разделив его на 3: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого можем воспользоваться формулой: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3\). Подставим значения: \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \]
Таким образом, получаем два критических значения: \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]
Шаг 3: Проверить критические точки и границы отрезка
Теперь нам нужно проверить значения функции \( f(x) \) в критических точках и на границах отрезка \([-4, 4]\):
- \( f(-4) \)
- \( f(-1) \)
- \( f(3) \)
- \( f(4) \)
Рассчитаем эти значения:
На границе \( x = -4 \): \[ f(-4) = (-4)^3 - 3(-4)^2 - 9(-4) + 35 = -64 - 48 + 36 + 35 = -41 \]
На критической точке \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 35 = -1 - 3 + 9 + 35 = 40 \]
На критической точке \( x = 3 \): \[ f(3) = 3^3 - 3(3^2) - 9(3) + 35 = 27 - 27 - 27 + 35 = 8 \]
На границе \( x = 4 \): \[ f(4) = 4^3 - 3(4^2) - 9(4) + 35 = 64 - 48 - 36 + 35 = 15 \]
Шаг 4: Найти наименьшее и наибольшее значение
Теперь сравним все найденные значения:
- \( f(-4) = -41 \)
- \( f(-1) = 40 \)
- \( f(3) = 8 \)
- \( f(4) = 15 \)
Наименьшее значение функции на отрезке \([-4, 4]\) равно -41 (при \( x = -4 \)), а наибольшее значение равно 40 (при \( x = -1 \)).
Ответ
- Наименьшее значение \( f(x) \) на отрезке \([-4, 4]\): -41
- Наибольшее значение \( f(x) \) на отрезке \([-4, 4]\): 40
