Найти наименьшее и наибольшее значение f(x)=х^2-8х+19 на отрезке [-1; 5]
Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции \( f(x) = x^2 - 8x + 19 \) на заданном отрезке \([-1; 5]\), будем следовать следующим шагам:
Шаг 1: Найдем производную функции
Сначала найдем производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = 2x - 8. \]
Шаг 2: Найдем критические точки
Теперь найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю: \[ 2x - 8 = 0 \implies 2x = 8 \implies x = 4. \]
Шаг 3: Проверим критические точки и границы отрезка
Теперь определим значения функции в самой критической точке и на границах отрезка \([-1, 5]\).
На границе \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^2 - 8(-1) + 19 = 1 + 8 + 19 = 28. \]
На критической точке \( x = 4 \): \[ f(4) = (4)^2 - 8(4) + 19 = 16 - 32 + 19 = 3. \]
На границе \( x = 5 \): \[ f(5) = (5)^2 - 8(5) + 19 = 25 - 40 + 19 = 4. \]
Шаг 4: Сравним значения
Итак, мы получили следующие значения функции:
- \( f(-1) = 28 \)
- \( f(4) = 3 \)
- \( f(5) = 4 \)
Теперь сравним их:
- Наименьшее значение: \( 3 \) (при \( x = 4 \))
- Наибольшее значение: \( 28 \) (при \( x = -1 \))
Ответ
Таким образом, наименьшее значение функции \( f(x) \) на отрезке \([-1; 5]\) равно \( 3 \), а наибольшее значение равно \( 28 \).
