Обозначим количество биатлонистов, финишировавших раньше Дениса, как ( x ), а количество тех, кто финишировал после него, как ( y ).
Согласно условию, имеем:
[
x = 4y
]
Кроме того, обозначим количество биатлонистов, финишировавших раньше Кирилла, как ( z ) и количество тех, кто финишировал после него, как ( w ). Тогда по условию задачи:
[
z = \frac{1}{8} w
]
С учетом того, что Денис и Кирилл финишируют в разное время, можно найти общее количество биатлонистов ( N ):
[
N = x + 1 + y \quad \text{(где 1 - это Денис)}
]
[
N = z + 1 + w \quad \text{(где 1 - это Кирилл)}
]
Теперь выразим ( N ) через ( y ):
[
N = 4y + 1 + y = 5y + 1
]
И выразим ( N ) через ( w ):
[
N = \frac{1}{8}w + 1 + w = \frac{1}{8}w + 1 + \frac{8}{8}w = \frac{9}{8}w + 1
]
Приравняем оба выражения для ( N ):
[
5y + 1 = \frac{9}{8}w + 1
]
Упрощаем:
[
5y = \frac{9}{8}w
]
Умножим обе стороны на 8, чтобы избавиться от дробей:
[
40y = 9w
]
Отсюда
[
w = \frac{40}{9}y
]
Так как ( w ) должно быть целым числом, ( y ) должно быть кратно 9. Пусть ( y = 9k ) для некоторого целого ( k ):
[
w = \frac{40}{9} \cdot 9k = 40k
]
Теперь подставим ( y = 9k ) в выражение для ( N ):
[
N = 5(9k) + 1 = 45k + 1
]
Теперь подставим ( w = 40k ) в выражение для ( N ):
[
N = \frac{9}{8}(40k) + 1 = \frac{360k}{8} + 1 = 45k + 1
]
Таким образом, оба выражения для ( N ) совпадают. Теперь выясним минимальное значение ( k ). При ( k = 1 ):
[
N = 45 \cdot 1 + 1 = 46
]
Итак, наименьшее количество спортсменов, которое могло участвовать в гонке, равно ( \boxed{46} ).
