Волан отлетает от ракетки под углом 450 к горизонту. Максимальная высота подъёма 4 м. Определите время и дальность полёта волана. Примите g = 10 м/с2.
Для решения этой задачи давайте поэтапно разберём, как определить время полёта волана и его дальность.
Известные данные
- Начальный угол (α) = 45°
- Максимальная высота (h) = 4 м
- Ускорение свободного падения (g) = 10 м/с²
1. Определение начальной скорости
Для достижения максимальной высоты волану необходимо использовать формулу, связывающую высоту, начальную скорость и угол. Максимальная высота в этом случае выражается через начальную вертикальную составляющую скорости (V_y):
\[ h = \frac{V_y^2}{2g} \]
Где:
- \( V_y = V_0 \cdot \sin(\alpha) \)
Подставляя это в формулу для высоты, мы получаем:
\[ 4 = \frac{(V_0 \cdot \sin(45°))^2}{2 \cdot 10} \]
Зная, что \(\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем:
\[ 4 = \frac{(V_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})^2}{20} \]
Полное преобразование уравнения:
\[ 4 = \frac{V_0^2 \cdot 2}{4 \cdot 20} \]
\[ 4 = \frac{V_0^2}{40} \]
Умножаем обе стороны на 40:
\[ V_0^2 = 160 \]
Теперь извлечём корень:
\[ V_0 = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \, \text{м/с} \]
2. Определение времени подъёма
Теперь можно найти время подъёма (t_up) до максимальной высоты. Время подъёма мы можем найти, используя уравнение:
\[ V_y = V_0 \cdot \sin(\alpha) - gt \]
На максимальной высоте vertical velocity (V_y) будет равно нулю:
\[ 0 = V_0 \cdot \sin(45°) - gt_{up} \]
Подставим значения:
\[ 0 = (4\sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - 10 \cdot t_{up} \]
Упрощая:
\[ 0 = 2\sqrt{20} - 10 \cdot t_{up} \]
Теперь выразим t_up:
\[ 10 \cdot t_{up} = 2\sqrt{20} \]
\[ t_{up} = \frac{2\sqrt{20}}{10} = \frac{\sqrt{20}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \, \text{с} \]
3. Общее время полёта
Общее время полёта (t_total) будет в два раза больше времени подъёма, так как подъем и спуск симметричны:
\[ t_{total} = 2 \cdot t_{up} = 2 \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{4\sqrt{5}}{5} \, \text{с} \]
4. Определение дальности полёта
Дальность полёта (R) можно определить по формуле:
\[ R = V_0 \cdot \cos(\alpha) \cdot t_{total} \]
Где:
\[ V_x = V_0 \cdot \cos(45°) = 4 \sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{20} \, \text{м/с} \]
Теперь подставляем:
\[ R = 2\sqrt{20} \cdot \frac{4\sqrt{5}}{5} \]
Упрощая:
\[ R = \frac{8\sqrt{100}}{5} = \frac{80}{5} = 16 \, \text{м} \]
Ответ
- Время полета: \( \frac{4\sqrt{5}}{5} \, \text{с} \)
- Дальность полета: \( 16 \, \text{м} \)
Таким образом, спортсмен, поднимая волан под углом 45°, за максимальную высоту в 4 метра выставляет задействованную скорость, которая позволяет достичь этих показателей.
