Решить задачу. Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. найдите стороны прямоугольника.

Чтобы решить задачу о нахождении сторон прямоугольника, когда известны его диагональ и периметр, следуем пошагово.

Шаг 1: Запишите формулы

Для прямоугольника нам нужны следующие формулы:

1. Периметр \( P \) прямоугольника: \[ P = 2(a + b) \] где \( a \) и \( b \) — стороны прямоугольника.

2. Диагональ \( d \) прямоугольника, которая связана с его сторонами через теорему Пифагора: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Шаг 2: Подставим известные значения

У нас есть:

• Диагональ \( d = 10 \) см
• Периметр \( P = 28 \) см

Шаг 3: Используйте формулу для периметра

Используя формулу периметра, можем выразить сумму сторон: \[ 28 = 2(a + b) \implies a + b = 14 \]

Шаг 4: Используйте формулу для диагонали

Теперь обратимся к формуле для диагонали: \[ 10 = \sqrt{a^2 + b^2} \] Возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня: \[ 100 = a^2 + b^2 \]

Шаг 5: Система уравнений

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( a + b = 14 \)
2. \( a^2 + b^2 = 100 \)

Сначала выразим одну переменную через другую из первого уравнения: \[ b = 14 - a \]

Шаг 6: Подставим во второе уравнение

Теперь подставим \( b \) во второе уравнение: \[ a^2 + (14 - a)^2 = 100 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + (196 - 28a + a^2) = 100 \] Соберем все выражения: \[ 2a^2 - 28a + 196 = 100 \] Упростим: \[ 2a^2 - 28a + 96 = 0 \] Разделим всё на 2: \[ a^2 - 14a + 48 = 0 \]

Шаг 7: Найдем корни квадратного уравнения

Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = -14, c = 48 \): \[ a = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2} \] \[ = \frac{14 \pm \sqrt{4}}{2} \] \[ = \frac{14 \pm 2}{2} \] Найдем два значения:

1. \( a_1 = \frac{16}{2} = 8 \)
2. \( a_2 = \frac{12}{2} = 6 \)

Шаг 8: Найдите стороны

Теперь можем найти стороны: Если \( a = 8 \), то \( b = 14 - 8 = 6 \). Если \( a = 6 \), то \( b = 14 - 6 = 8 \). Таким образом, стороны прямоугольника равны 8 см и 6 см.

Ответ:

Стороны прямоугольника равны 8 см и 6 см.