Решить задачу. Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. найдите стороны прямоугольника.

Чтобы решить задачу о нахождении сторон прямоугольника, когда известны его диагональ и периметр, следуем пошагово. ### Шаг 1: Запишите формулы Для прямоугольника нам нужны следующие формулы: 1. **Периметр** \( P \) прямоугольника: \[ P = 2(a + b) \] где \( a \) и \( b \) — стороны прямоугольника. 2. **Диагональ** \( d \) прямоугольника, которая связана с его сторонами через теорему Пифагора: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \] ### Шаг 2: Подставим известные значения У нас есть: - Диагональ \( d = 10 \) см - Периметр \( P = 28 \) см ### Шаг 3: Используйте формулу для периметра Используя формулу периметра, можем выразить сумму сторон: \[ 28 = 2(a + b) \implies a + b = 14 \] ### Шаг 4: Используйте формулу для диагонали Теперь обратимся к формуле для диагонали: \[ 10 = \sqrt{a^2 + b^2} \] Возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня: \[ 100 = a^2 + b^2 \] ### Шаг 5: Система уравнений Теперь у нас есть система уравнений: 1. \( a + b = 14 \) 2. \( a^2 + b^2 = 100 \) Сначала выразим одну переменную через другую из первого уравнения: \[ b = 14 - a \] ### Шаг 6: Подставим во второе уравнение Теперь подставим \( b \) во второе уравнение: \[ a^2 + (14 - a)^2 = 100 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + (196 - 28a + a^2) = 100 \] Соберем все выражения: \[ 2a^2 - 28a + 196 = 100 \] Упростим: \[ 2a^2 - 28a + 96 = 0 \] Разделим всё на 2: \[ a^2 - 14a + 48 = 0 \] ### Шаг 7: Найдем корни квадратного уравнения Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = -14, c = 48 \): \[ a = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2} \] \[ = \frac{14 \pm \sqrt{4}}{2} \] \[ = \frac{14 \pm 2}{2} \] Найдем два значения: 1. \( a_1 = \frac{16}{2} = 8 \) 2. \( a_2 = \frac{12}{2} = 6 \) ### Шаг 8: Найдите стороны Теперь можем найти стороны: Если \( a = 8 \), то \( b = 14 - 8 = 6 \). Если \( a = 6 \), то \( b = 14 - 6 = 8 \). Таким образом, стороны прямоугольника равны 8 см и 6 см. ### Ответ: Стороны прямоугольника равны 8 см и 6 см.