(х+1)⁷=

Для того чтобы решить уравнение \((x + 1)^7\), можно воспользоваться формулой бинома Ньютона. Эта формула позволяет разложить степени суммы на составляющие.

Шаг 1: Понять формулу бинома Ньютона

Формула бинома Ньютона гласит: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) \cdot a^{n-k} \cdot b^k \] где:

• \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\),
• \(n\) — степень,
• \(a\) и \(b\) — слагаемые в сумме.

Шаг 2: Подставляем данные в формулу

В нашем случае:

• \(a = x\),
• \(b = 1\),
• \(n = 7\).

Подставим эти значения в формулу: \[ (x + 1)^7 = \sum_{k=0}^{7} C(7, k) \cdot x^{7-k} \cdot 1^k \] Поскольку \(1^k\) всегда равно 1, упрощаем выражение до: \[ (x + 1)^7 = \sum_{k=0}^{7} C(7, k) \cdot x^{7-k} \]

Шаг 3: Вычисляем биномиальные коэффициенты

Теперь вычислим биномиальные коэффициенты:

• \(C(7, 0) = 1\)
• \(C(7, 1) = 7\)
• \(C(7, 2) = 21\)
• \(C(7, 3) = 35\)
• \(C(7, 4) = 35\)
• \(C(7, 5) = 21\)
• \(C(7, 6) = 7\)
• \(C(7, 7) = 1\)

Шаг 4: Записываем полное разложение

Теперь мы можем записать каждое слагаемое для \(k\) от 0 до 7: \[ (x + 1)^7 = C(7, 0)x^7 + C(7, 1)x^6 + C(7, 2)x^5 + C(7, 3)x^4 + C(7, 4)x^3 + C(7, 5)x^2 + C(7, 6)x^1 + C(7, 7) \] Подставляем найденные коэффициенты: \[ = 1 \cdot x^7 + 7 \cdot x^6 + 21 \cdot x^5 + 35 \cdot x^4 + 35 \cdot x^3 + 21 \cdot x^2 + 7 \cdot x + 1 \]

Ответ

Объединим всё в одно выражение: \[ (x + 1)^7 = x^7 + 7x^6 + 21x^5 + 35x^4 + 35x^3 + 21x^2 + 7x + 1 \]

Теперь у вас есть полное разложение \( (x + 1)^7 \) с использованием формулы бинома Ньютона. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать!