Сумма первых 3 членов г.п S³=39 q=4 Найти сумму S4
Чтобы решить задачу, начнем с того, что у нас есть геометрическая прогрессия (г.п.).
Дано:
- Сумма первых 3 членов \( S_3 = 39 \)
- Знаменатель \( q = 4 \) (первый член прогрессии не указан)
Формула суммы первых n членов г.п.:
Сумма первых n членов г.п. выражается формулой:
\[ S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1} \]
где:
- \( S_n \) — сумма первых n членов,
- \( a \) — первый член прогрессии,
- \( q \) — знаменатель прогрессии (в данном случае \( q = 4 \)),
- \( n \) — количество членов, которые участвуют в сумме.
Применим формулу для суммы первых 3 членов:
Подставим известные значения в формулу для \( S_3 \):
\[ S_3 = a \frac{q^3 - 1}{q - 1} \]
Подставив \( S_3 = 39 \) и \( q = 4 \):
\[ 39 = a \frac{4^3 - 1}{4 - 1} \] \[ 39 = a \frac{64 - 1}{3} \] \[ 39 = a \frac{63}{3} \] \[ 39 = 21a \]
Найдем первый член геометрической прогрессии \( a \):
Решим уравнение для \( a \):
\[ a = \frac{39}{21} = \frac{13}{7} \]
Теперь найдем сумму первых 4 членов \( S_4 \):
Используем ту же формулу для нахождения \( S_4 \):
\[ S_4 = a \frac{q^4 - 1}{q - 1} \]
Подставляем \( a = \frac{13}{7} \) и \( q = 4 \):
\[ S_4 = \frac{13}{7} \frac{4^4 - 1}{4 - 1} \]
Вычислим \( 4^4 \):
\[ 4^4 = 256 \] Подставим это значение:
\[ S_4 = \frac{13}{7} \frac{256 - 1}{3} = \frac{13}{7} \frac{255}{3} \] \[ S_4 = \frac{13 \cdot 255}{7 \cdot 3} \]
Теперь нужно расчетить:
\[ 255 \div 3 = 85 \]
Тогда:
\[ S_4 = \frac{13 \cdot 85}{7} = \frac{1105}{7} \]
Результат:
Теперь окончательно сможем представить сумму \( S_4 \):
\[ S_4 = 157.8571 \text{ или в виде дроби } \frac{1105}{7} \]
Таким образом, сумма первых 4 членов геометрической прогрессии \( S_4 \) составляет \( \frac{1105}{7} \) или примерно \( 157.86 \).
