Решить неравенство (3+2 √(2))^(2x) - 6(1/(3-2 √(2))^x+1 ≥0
Для решения неравенства \( (3 + 2\sqrt{2})^{2x} - \frac{6}{(3 - 2\sqrt{2})^{x}} + 1 \geq 0 \) давайте разберемся с выражением подробнее.
Шаг 1: Упростим выражение
Обозначим \( a = 3 + 2\sqrt{2} \).
Тогда, зная, что \( b = 3 - 2\sqrt{2} \), можно доказать, что \( ab = 1 \). Это следует из:
\[ ab = (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 9 - 8 = 1. \]
Таким образом, \( b = \frac{1}{a} \).
Шаг 2: Замена переменной
Используем замену \( y = a^x \). Тогда \( \frac{1}{b^x} = a^x = y \).
Теперь неравенство переписывается как:
\[ y^2 - \frac{6}{y} + 1 \geq 0. \]
Шаг 3: Приведение к общему знаменателю и решение квадратного неравенства
Приведем к общему знаменателю:
\[ y^2 - \frac{6}{y} + 1 = \frac{y^3 - 6 + y}{y} = \frac{y^3 + y - 6}{y}. \]
Теперь решаем неравенство:
\[ \frac{y^3 + y - 6}{y} \geq 0. \]
Шаг 4: Найдем нули числителя и знаменателя
- Знаменатель: \( y = 0 \), но это не имеет смысла в контексте нашей замены, так как основание \( a > 0 \).
- Числитель: \( y^3 + y - 6 = 0 \).
Решим это уравнение:
Подбор корня: \( y = 2 \) (так как \( 2^3 + 2 - 6 = 0 \)).
Разложим \( y^3 + y - 6 = (y - 2)(y^2 + 2y + 3) \).
Шаг 5: Исследуем знак \( y^2 + 2y + 3 \)
Дискриминант \( D = 2^2 - 4 \times 1 \times 3 = 4 - 12 = -8 \), поэтому квадратное уравнение не имеет действительных корней и всегда положительно.
Шаг 6: Неравенство
Исследуем знак числителя: \((y - 2)(y^2 + 2y + 3) \geq 0\).
Так как \( y^2 + 2y + 3 > 0 \) для любых \( y \), то неравенство зависит от \( y - 2 \).
Следовательно, \( y - 2 \geq 0 \Rightarrow y \geq 2 \).
Шаг 7: Возвращаемся к \( x \)
Так как \( y = a^x = (3 + 2\sqrt{2})^x \), то:
\[ (3 + 2\sqrt{2})^x \geq 2. \]
Решаем неравенство:
\[ x \geq \frac{\ln 2}{\ln (3 + 2\sqrt{2})}. \]
Таким образом, решением исходного неравенства является:
\[ x \geq \frac{\ln 2}{\ln (3 + 2\sqrt{2})}. \]
