Решить неравенство (3+2 √(2))^(2x) - 6(1/(3-2 √(2))^x+1 ≥0

Для решения неравенства \( (3 + 2\sqrt{2})^{2x} - \frac{6}{(3 - 2\sqrt{2})^{x}} + 1 \geq 0 \) давайте разберемся с выражением подробнее. ### Шаг 1: Упростим выражение Обозначим \( a = 3 + 2\sqrt{2} \). Тогда, зная, что \( b = 3 - 2\sqrt{2} \), можно доказать, что \( ab = 1 \). Это следует из: \[ ab = (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 9 - 8 = 1. \] Таким образом, \( b = \frac{1}{a} \). ### Шаг 2: Замена переменной Используем замену \( y = a^x \). Тогда \( \frac{1}{b^x} = a^x = y \). Теперь неравенство переписывается как: \[ y^2 - \frac{6}{y} + 1 \geq 0. \] ### Шаг 3: Приведение к общему знаменателю и решение квадратного неравенства Приведем к общему знаменателю: \[ y^2 - \frac{6}{y} + 1 = \frac{y^3 - 6 + y}{y} = \frac{y^3 + y - 6}{y}. \] Теперь решаем неравенство: \[ \frac{y^3 + y - 6}{y} \geq 0. \] ### Шаг 4: Найдем нули числителя и знаменателя 1. Знаменатель: \( y = 0 \), но это не имеет смысла в контексте нашей замены, так как основание \( a > 0 \). 2. Числитель: \( y^3 + y - 6 = 0 \). Решим это уравнение: Подбор корня: \( y = 2 \) (так как \( 2^3 + 2 - 6 = 0 \)). Разложим \( y^3 + y - 6 = (y - 2)(y^2 + 2y + 3) \). ### Шаг 5: Исследуем знак \( y^2 + 2y + 3 \) Дискриминант \( D = 2^2 - 4 \times 1 \times 3 = 4 - 12 = -8 \), поэтому квадратное уравнение не имеет действительных корней и всегда положительно. ### Шаг 6: Неравенство Исследуем знак числителя: \((y - 2)(y^2 + 2y + 3) \geq 0\). Так как \( y^2 + 2y + 3 > 0 \) для любых \( y \), то неравенство зависит от \( y - 2 \). Следовательно, \( y - 2 \geq 0 \Rightarrow y \geq 2 \). ### Шаг 7: Возвращаемся к \( x \) Так как \( y = a^x = (3 + 2\sqrt{2})^x \), то: \[ (3 + 2\sqrt{2})^x \geq 2. \] Решаем неравенство: \[ x \geq \frac{\ln 2}{\ln (3 + 2\sqrt{2})}. \] Таким образом, решением исходного неравенства является: \[ x \geq \frac{\ln 2}{\ln (3 + 2\sqrt{2})}. \]