Обозначим длины сторон прямоугольника как ( a ) и ( b ).
Согласно условиям задачи, у нас есть следующие уравнения:
Периметр:
[
2(a + b) = 94
]
Из этого уравнения можно выразить сумму сторон:
[
a + b = 47
]
Площадь:
[
a \cdot b = 480
]
Теперь у нас есть система уравнений:
[
\begin{cases}
a + b = 47 \
ab = 480
\end{cases}
]
Можно выразить ( b ) через ( a ) из первого уравнения:
[
b = 47 - a
]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
[
a(47 - a) = 480
]
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:
[
47a - a^2 = 480
]
[
-a^2 + 47a - 480 = 0
]
Умножим уравнение на (-1):
[
a^2 - 47a + 480 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-47)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 480 = 2209 - 1920 = 289
]
Так как дискриминант положителен, у нас есть два решения:
[
a = \frac{47 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{47 \pm 17}{2}
]
Рассмотрим два случая:
1.
[
a_1 = \frac{64}{2} = 32
]
2.
[
a_2 = \frac{30}{2} = 15
]
Теперь найдем соответствующие значения ( b ):
Если ( a = 32 ), то
[
b = 47 - 32 = 15
]
Если ( a = 15 ), то
[
b = 47 - 15 = 32
]
Таким образом, длины сторон прямоугольника равны ( 32 , \text{дм} ) и ( 15 , \text{дм} ).
