Периметр прямоугольника равен 94 дм , а его площадь 480 дм2 . Найдите длинны сторон прямоугольника
Обозначим длины сторон прямоугольника как \( a \) и \( b \).
Согласно условиям задачи, у нас есть следующие уравнения:
Периметр: \[ 2(a + b) = 94 \] Из этого уравнения можно выразить сумму сторон: \[ a + b = 47 \]
Площадь: \[ a \cdot b = 480 \]
Теперь у нас есть система уравнений:
\[ \begin{cases} a + b = 47 \\ ab = 480 \end{cases} \]
Можно выразить \( b \) через \( a \) из первого уравнения: \[ b = 47 - a \]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение: \[ a(47 - a) = 480 \]
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду: \[ 47a - a^2 = 480 \] \[ -a^2 + 47a - 480 = 0 \]
Умножим уравнение на \(-1\): \[ a^2 - 47a + 480 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-47)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 480 = 2209 - 1920 = 289 \]
Так как дискриминант положителен, у нас есть два решения: \[ a = \frac{47 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{47 \pm 17}{2} \]
Рассмотрим два случая:
1. \[ a_1 = \frac{64}{2} = 32 \]
2. \[ a_2 = \frac{30}{2} = 15 \]
Теперь найдем соответствующие значения \( b \):
Если \( a = 32 \), то \[ b = 47 - 32 = 15 \]
Если \( a = 15 \), то \[ b = 47 - 15 = 32 \]
Таким образом, длины сторон прямоугольника равны \( 32 \, \text{дм} \) и \( 15 \, \text{дм} \).
