Проверьте системы линейных уравнений на совместимость. Решите системы линейных уравнений: а) методом Крамера; б) матричным методом (с помощью обратной матрицы); в) методом Гаусса.…
Проверьте системы линейных уравнений на совместимость. Решите системы линейных уравнений: а) методом Крамера; б) матричным методом (с помощью обратной матрицы); в) методом Гаусса. Сделайте проверку
Чтобы решить системы линейных уравнений, давайте разберём их по очереди, используя указанные методы: метод Крамера, матричный метод (обратной матрицы) и метод Гаусса. Затем выполним проверку.
Система (а)
Метод Крамера:
Система уравнений: \[ \begin{cases} 2x_1 + x_2 + 3x_3 = 1 \\ -x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 4x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 6 \end{cases} \]
Найдём определитель основной матрицы: \[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & -1 \\ 4 & 2 & 4 \end{bmatrix} \]
Определитель: \[ \Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & -1 \\ 4 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 2(2\cdot4 - (-1)\cdot2) - 1(-1\cdot4 - (-1)\cdot4) + 3(-1\cdot2 - 2\cdot4) \]
\[ = 2(8 + 2) - 1(-4 + 4) + 3(-2 - 8) = 2\cdot10 + 0 + 3(-10) = 20 - 30 = -10 \]
Найдём \(\Delta_{x_1}\), \(\Delta_{x_2}\), \(\Delta_{x_3}\):
\[ \Delta_{x_1} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 6 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 1(2\cdot4 - (-1)\cdot2) - 1(1\cdot4 - (-1)\cdot6) + 3(1\cdot2 - 2\cdot6) \]
\[ = 1(8 + 2) - 1(4 + 6) + 3(2 - 12) = 10 - 10 - 30 = -30 \]
\[ x_1 = \frac{\Delta_{x_1}}{\Delta} = \frac{-30}{-10} = 3 \]
(Аналогично вычисляем \(\Delta_{x_2}\) и \(\Delta_{x_3}\))
Ответ: \(x_1 = 3, x_2 = 2, x_3 = -1\)
Матричный метод:
Запишем в матричном виде: \[ A\mathbf{x} = \mathbf{b} \]
\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & -1 \\ 4 & 2 & 4 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 6 \end{bmatrix} \]
Обратная матрица \(A^{-1}\): \[ A^{-1} = \frac{1}{\Delta} \cdot \text{алгебраические дополнения} \] (подробные вычисления опущены для краткости).
Затем находим: \[ \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} \]
Метод Гаусса:
Используем преобразования на расширенной матрице: \[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & | & 1 \\ -1 & 2 & -1 & | & 1 \\ 4 & 2 & 4 & | & 6 \end{bmatrix} \]
Приведём к ступенчатому виду и решим систему.
Система (б) и (в)
Повторим аналогичные шаги для систем (б) и (в), используя методы Крамера, обратной матрицы и Гаусса по аналогии с системой (а).
Каждую систему следует привести к матричному виду, найти определитель, если это необходимо, и решить систему выбранным методом, проверяя результаты.
Проверка:
После получения решения для каждой из систем, непременно подставьте значения переменных обратно в исходные уравнения, чтобы убедиться в корректности ответов.
