y = 3x²+2x-1 Найдите: 1. Множество значений 2. Четность 3.Точку пересечения с осью y 4. Нули 5. Промежутки знакопостоянства 6. Промежутки возрастания и убывания 7. Наибольшее и…

Давайте рассмотрим функцию \( y = 3x^2 + 2x - 1 \) и поэтапно ответим на все поставленные вопросы.

1. Множество значений

Чтобы найти множество значений (множество \( y \)), нужно определить, как ведет себя функция на своей области определения.

Функция \( y \) является квадратичной, и её график — парабола, открытая вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) (3) положительный.

Вершина параболы находится в точке: \[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3} \] Теперь подставим \( x_v \) обратно в исходную функцию, чтобы найти \( y_v \): \[ y_v = 3\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{3}\right) - 1 = 3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{2}{3} - 1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} - \frac{3}{3} = -1 \] Поэтому, минимальное значение функции равно -1 и оно достигается в точке \(\left(-\frac{1}{3}, -1\right)\). Таким образом, множество значений: \[ y \geq -1 \]

2. Четность

Функция является четной, если \( f(-x) = f(x) \), и нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \).

Для данной функции: \[ f(-x) = 3(-x)^2 + 2(-x) - 1 = 3x^2 - 2x - 1 \] Поскольку \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \), функция не является четной и не является нечетной.

3. Точка пересечения с осью Y

Чтобы найти точку пересечения с осью Y, нужно подставить \( x = 0 \): \[ y(0) = 3(0)^2 + 2(0) - 1 = -1 \] Таким образом, точка пересечения с осью Y: (0, -1).

4. Нули

Чтобы найти нули функции, решим уравнение \( 3x^2 + 2x - 1 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \] Так как \( D > 0 \), у уравнения два различных корня: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 4}{6} \] Таким образом: \[ x_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{-6}{6} = -1 \]

5. Промежутки знакопостоянства

Функция будет положительна на промежутке, где \( y > 0 \). Мы знаем, что нули функции это \( x_1 = \frac{1}{3} \) и \( x_2 = -1 \).

Точки деления на интервалах:

• \( (-\infty, -1) \)
• \( (-1, \frac{1}{3}) \)
• \( (\frac{1}{3}, +\infty) \)

Проверим знаки:

• Для \( x = -2 \): \( y = 3(-2)^2 + 2(-2) - 1 = 12 - 4 - 1 = 7 \) (положительно)
• Для \( x = 0 \): \( y = -1 \) (отрицательно)
• Для \( x = 1 \): \( y = 3(1)^2 + 2(1) - 1 = 4 \) (положительно)

Таким образом, \( y > 0 \) на промежутках \( (-\infty, -1) \) и \( (\frac{1}{3}, +\infty) \).

6. Промежутки возрастания и убывания

Для нахождения промежутков возрастания и убывания определяем производную функции: \[ y' = 6x + 2 \] Приравняем к нулю: \[ 6x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3} \] Исследуем знаки производной:

• На промежутках \( (-\infty, -\frac{1}{3}) \): производная \( < 0 \) (функция убывает)
• На промежутках \( (-\frac{1}{3}, +\infty) \): производная \( > 0 \) (функция возрастает)

7. Наибольшее и наименьшее значение на области определения

Наименьшее значение функции на всей области определения равно \( -1 \), достигается в точке \( (-\frac{1}{3}, -1) \), а наибольшего значения функция не имеет (стремится к бесконечности).

8. Асимптоты

У данной функции нет асимптот, так как это квадратный парабола.

9. Ограниченность

Функция \( y = 3x^2 + 2x - 1 \) имеет нижнюю границу \( -1 \) и верхней границы нет (стремится к бесконечности), значит, функция ограничена снизу.

10. Ось симметрии

Ось симметрии параболы проходит через \( x = -\frac{1}{3} \) (находится в вершине параболы).

Таким образом, мы рассмотрели все пункты по вашему запросу, и функцию \( y = 3x^2 + 2x - 1 \) проанализировали достаточно подробно.