4 задача

Давайте решим четвертую задачу:

\[ \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) - \sin(\pi + \alpha) + \cot(\pi + \alpha) + \tan\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \cot(2\pi + \alpha) \]

Разберем каждый тригонометрический элемент по отдельности:

1. \(\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)\):

   Используем формулу: \[ \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \sin(\alpha) \]

2. \(-\sin(\pi + \alpha)\):

   Используем формулу: \[ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) \] Значит: \[ -\sin(\pi + \alpha) = \sin(\alpha) \]

3. \(\cot(\pi + \alpha)\):

   Используем формулу: \[ \cot(\pi + \alpha) = -\cot(\alpha) \]

4. \(\tan\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)\):

   Используем формулу суммы углов для тангенса: \[ \tan\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) + \tan(\alpha)}{1 - \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\tan(\alpha)} \] \(\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\), значит: \[ = \frac{\sqrt{3} + \tan(\alpha)}{1 - \sqrt{3}\tan(\alpha)} \]

5. \(\cot(2\pi + \alpha)\):

   Используем периодичность: \[ \cot(2\pi + \alpha) = \cot(\alpha) \]

Подставим все в выражение:

\[ \sin(\alpha) + \sin(\alpha) - \cot(\alpha) + \frac{\sqrt{3} + \tan(\alpha)}{1 - \sqrt{3}\tan(\alpha)} + \cot(\alpha) \]

Упростим:

Выражение \(-\cot(\alpha) + \cot(\alpha)\) сократится до 0:

\[ = 2\sin(\alpha) + \frac{\sqrt{3} + \tan(\alpha)}{1 - \sqrt{3}\tan(\alpha)} \]

Этот результат показывает упрощение задачи, но дальнейшая численная оценка или проверка зависимости от конкретного значения \(\alpha\) не предусмотрена в задаче.

Ответ:

\[ 2\sin(\alpha) + \frac{\sqrt{3} + \tan(\alpha)}{1 - \sqrt{3}\tan(\alpha)} \]

Это окончательное решение с учетом всех преобразований.