2) Ящик начинает съезжать без трения с горки высотой 3 м. Определите скорость ящика в конце спуска.
Для решения данной задачи применим закон сохранения энергии.
Шаг 1: Определение начальной и конечной энергии.
На верхней части горки ящик имеет потенциальную энергию и не имеет кинетической энергии (если предположить, что он начинает двигаться с покоя). Потенциальная энергия \( E_p \) выражается формулой:
\[ E_p = mgh \]
где:
- \( m \) — масса ящика,
- \( g \) — ускорение свободного падения (приблизительно \( 9.81 \, \text{м/с}^2 \)),
- \( h \) — высота (3 м).
На нижней части горки (в конце спуска) ящик будет иметь только кинетическую энергию \( E_k \), которая выражается формулой:
\[ E_k = \frac{mv^2}{2} \]
где:
- \( v \) — скорость ящика.
Шаг 2: Применение закона сохранения энергии.
Согласно закону сохранения энергии, сумма потенциальной и кинетической энергии в начале будет равна сумме потенциальной и кинетической энергии в конце. То есть:
\[ E_p = E_k \]
Мы можем это записать так:
\[ mgh = \frac{mv^2}{2} \]
Шаг 3: Упрощение уравнения.
Мы видим, что масса \( m \) присутствует в обеих частях уравнения, и мы можем её сократить (при условии, что масса не равна нулю):
\[ gh = \frac{v^2}{2} \]
Шаг 4: Переписываем уравнение для скорости \( v \).
Перемножим обе стороны на 2:
\[ 2gh = v^2 \]
Теперь выражаем скорость \( v \):
\[ v = \sqrt{2gh} \]
Шаг 5: Подстановка значений.
Теперь подставим известные значения:
- \( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \)
- \( h = 3 \, \text{м} \)
Таким образом, подставим:
\[ v = \sqrt{2 \cdot 9.81 \cdot 3} \]
Шаг 6: Вычисление.
Сначала расчитаем \( 2 \cdot 9.81 \cdot 3 \):
\[ 2 \cdot 9.81 = 19.62, \] \[ 19.62 \cdot 3 = 58.86. \]
Теперь вычислим корень:
\[ v = \sqrt{58.86} \approx 7.67 \, \text{м/с}. \]
Ответ:
Скорость ящика в конце спуска составляет примерно \( 7.67 \, \text{м/с} \).
