Периметр прямоугольника равен 82 см а его площадь - 320 см². Найдите длины сторон прямоугольника

Чтобы найти длины сторон прямоугольника, мы можем использовать формулы для периметра и площади прямоугольника, а именно:

• Периметр \( P \) равен \( P = 2(a + b) \), где \( a \) и \( b \) — длины сторон прямоугольника.
• Площадь \( S \) равна \( S = a \cdot b \).

Дано:
Периметр \( P = 82 \) см.
Площадь \( S = 320 \) см².

Шаг 1: Записать уравнения

Из формулы периметра можно выразить сумму сторон:

\[ 2(a + b) = 82 \]

Разделим обе стороны на 2:

\[ a + b = 41 \quad (1) \]

Теперь из формулы площади:

\[ a \cdot b = 320 \quad (2) \]

Шаг 2: Подставить одно уравнение в другое

Из уравнения (1) выразим одну сторону через другую. Например, выразим \( b \):

\[ b = 41 - a \quad (3) \]

Теперь подставим выражение для \( b \) из (3) в уравнение (2):

\[ a \cdot (41 - a) = 320 \]

Шаг 3: Преобразовать уравнение

Теперь раскроем скобки:

\[ 41a - a^2 = 320 \]

Перепишем уравнение, чтобы привести его к стандартному виду:

\[ -a^2 + 41a - 320 = 0 \]

Умножим на -1, чтобы упростить:

\[ a^2 - 41a + 320 = 0 \]

Шаг 4: Найти корни уравнения

Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = -41 \), \( c = 320 \):

\[ D = (-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 320 = 1681 - 1280 = 401 \]

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня.

Находим корни:

\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{41 \pm \sqrt{401}}{2} \]

Рассчитаем корни:

\[ \sqrt{401} \approx 20.024 \]

Теперь подставим это значение:

\[ a_1 = \frac{41 + 20.024}{2} \approx \frac{61.024}{2} \approx 30.512 \] \[ a_2 = \frac{41 - 20.024}{2} \approx \frac{20.976}{2} \approx 10.488 \]

Шаг 5: Найти стороны прямоугольника

Теперь, подставив найденные значения \( a \) обратно в (3), найдем \( b \):

Для \( a \approx 30.512 \):

\[ b = 41 - a \approx 41 - 30.512 \approx 10.488 \]

Для \( a \approx 10.488 \):

\[ b = 41 - a \approx 41 - 10.488 \approx 30.512 \]

Ответ

Таким образом, длины сторон прямоугольника приблизительно равны:

• \( a \approx 30.5 \) см
• \( b \approx 10.5 \) см

Или можно записать:

• Одна сторона \( 30.5 \) см, другая сторона \( 10.5 \) см.