Периметр прямоугольника равен 82 см а его площадь - 320 см². Найдите длины сторон прямоугольника

Чтобы найти длины сторон прямоугольника, мы можем использовать формулы для периметра и площади прямоугольника, а именно: - Периметр \( P \) равен \( P = 2(a + b) \), где \( a \) и \( b \) — длины сторон прямоугольника. - Площадь \( S \) равна \( S = a \cdot b \). Дано: Периметр \( P = 82 \) см. Площадь \( S = 320 \) см². ### Шаг 1: Записать уравнения Из формулы периметра можно выразить сумму сторон: \[ 2(a + b) = 82 \] Разделим обе стороны на 2: \[ a + b = 41 \quad (1) \] Теперь из формулы площади: \[ a \cdot b = 320 \quad (2) \] ### Шаг 2: Подставить одно уравнение в другое Из уравнения (1) выразим одну сторону через другую. Например, выразим \( b \): \[ b = 41 - a \quad (3) \] Теперь подставим выражение для \( b \) из (3) в уравнение (2): \[ a \cdot (41 - a) = 320 \] ### Шаг 3: Преобразовать уравнение Теперь раскроем скобки: \[ 41a - a^2 = 320 \] Перепишем уравнение, чтобы привести его к стандартному виду: \[ -a^2 + 41a - 320 = 0 \] Умножим на -1, чтобы упростить: \[ a^2 - 41a + 320 = 0 \] ### Шаг 4: Найти корни уравнения Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = -41 \), \( c = 320 \): \[ D = (-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 320 = 1681 - 1280 = 401 \] Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня. Находим корни: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{41 \pm \sqrt{401}}{2} \] Рассчитаем корни: \[ \sqrt{401} \approx 20.024 \] Теперь подставим это значение: \[ a_1 = \frac{41 + 20.024}{2} \approx \frac{61.024}{2} \approx 30.512 \] \[ a_2 = \frac{41 - 20.024}{2} \approx \frac{20.976}{2} \approx 10.488 \] ### Шаг 5: Найти стороны прямоугольника Теперь, подставив найденные значения \( a \) обратно в (3), найдем \( b \): Для \( a \approx 30.512 \): \[ b = 41 - a \approx 41 - 30.512 \approx 10.488 \] Для \( a \approx 10.488 \): \[ b = 41 - a \approx 41 - 10.488 \approx 30.512 \] ### Ответ Таким образом, длины сторон прямоугольника приблизительно равны: - \( a \approx 30.5 \) см - \( b \approx 10.5 \) см Или можно записать: - Одна сторона \( 30.5 \) см, другая сторона \( 10.5 \) см.