x^4-36x^2+324=0
Чтобы решить уравнение \( x^4 - 36x^2 + 324 = 0 \), начнем с преобразования его в более подходящий вид.
Замена переменной:
Мы заметим, что \( x^4 \) можно представить как \( (x^2)^2 \), а \( -36x^2 \) как \( -36y \), если положим \( y = x^2 \). Тогда уравнение можно переписать так: \[ y^2 - 36y + 324 = 0 \]Решение квадратного уравнения:
Теперь у нас есть стандартное квадратное уравнение \( Ay^2 + By + C = 0 \), где \( A = 1 \), \( B = -36 \), \( C = 324 \).Мы можем использовать дискриминант для решения данного уравнения: \[ D = B^2 - 4AC \] Подставляем значения: \[ D = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 324 = 1296 - 1296 = 0 \]
Поскольку дискриминант равен 0, это означает, что уравнение имеет один корень: \[ y = \frac{-B}{2A} = \frac{36}{2 \cdot 1} = 18 \]
Обратная подстановка:
Теперь, когда мы нашли значение \( y = 18 \), мы возвращаемся к переменной \( x \): \[ x^2 = 18 \]Находим значения \( x \):
Теперь извлечем квадратный корень из 18: \[ x = \sqrt{18} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{18} \]Упрощаем \(\sqrt{18}\): \[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \]
Таким образом, у нас есть два решения: \[ x = 3\sqrt{2} \quad \text{или} \quad x = -3\sqrt{2} \]
Ответ:
Итак, полное решение уравнения можно записать так: \[ x = 3\sqrt{2} \quad \text{и} \quad x = -3\sqrt{2} \]
Теперь у вас есть два корня уравнения \( x^4 - 36x^2 + 324 = 0 \): \( x = 3\sqrt{2} \) и \( x = -3\sqrt{2} \).
