Найти наибольшее значение функции у=х^3-3х+4 на отрезке [-2; 0]
Для нахождения наибольшего значения функции \( y = x^3 - 3x + 4 \) на отрезке \([-2; 0]\) необходимо выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Найти производную функции
Сначала найдем производную функции \( y \), чтобы определить, где функции достигает своих экстремумов.
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 4) = 3x^2 - 3 \]
Шаг 2: Найти критические точки
Теперь решим уравнение производной, приравняв её к нулю, чтобы найти критические точки:
\[ 3x^2 - 3 = 0 \]
Это уравнение можно упростить:
\[ 3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ (x - 1)(x + 1) = 0 \]
Таким образом, критические точки находятся в:
\[ x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \]
Шаг 3: Определить, какие критические точки находятся на отрезке
Теперь проверим, какие из найденных критических точек лежат в отрезке \([-2; 0]\):
- \( x = 1 \) не входит в отрезок \([-2; 0]\).
- \( x = -1 \) входит в отрезок.
Шаг 4: Найти значения функции в критической точке и на концах отрезка
Теперь нам нужно оценить значения функции в критической точке \( x = -1 \) и на концах отрезка \( x = -2 \) и \( x = 0 \).
- \( x = -2 \):
\[ y(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 4 = -8 + 6 + 4 = 2 \]
- \( x = -1 \):
\[ y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 4 = -1 + 3 + 4 = 6 \]
- \( x = 0 \):
\[ y(0) = (0)^3 - 3(0) + 4 = 0 - 0 + 4 = 4 \]
Шаг 5: Сравнить найденные значения
Теперь у нас есть три значения функции на отрезке \([-2; 0]\):
- \( y(-2) = 2 \)
- \( y(-1) = 6 \)
- \( y(0) = 4 \)
Наибольшее значение среди них:
\[ \text{max}(2, 6, 4) = 6 \]
Ответ
Наибольшее значение функции \( y = x^3 - 3x + 4 \) на отрезке \([-2; 0]\) равно \( 6 \) и достигается при \( x = -1 \).
