Для нахождения наибольшего значения функции ( y = x^3 - 3x + 4 ) на отрезке ([-2; 0]) необходимо выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Найти производную функции
Сначала найдем производную функции ( y ), чтобы определить, где функции достигает своих экстремумов.
[
y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 4) = 3x^2 - 3
]
Шаг 2: Найти критические точки
Теперь решим уравнение производной, приравняв её к нулю, чтобы найти критические точки:
[
3x^2 - 3 = 0
]
Это уравнение можно упростить:
[
3(x^2 - 1) = 0
]
[
x^2 - 1 = 0
]
[
(x - 1)(x + 1) = 0
]
Таким образом, критические точки находятся в:
[
x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1
]
Шаг 3: Определить, какие критические точки находятся на отрезке
Теперь проверим, какие из найденных критических точек лежат в отрезке ([-2; 0]):
- ( x = 1 ) не входит в отрезок ([-2; 0]).
- ( x = -1 ) входит в отрезок.
Шаг 4: Найти значения функции в критической точке и на концах отрезка
Теперь нам нужно оценить значения функции в критической точке ( x = -1 ) и на концах отрезка ( x = -2 ) и ( x = 0 ).
- ( x = -2 ):
[
y(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 4 = -8 + 6 + 4 = 2
]
- ( x = -1 ):
[
y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 4 = -1 + 3 + 4 = 6
]
- ( x = 0 ):
[
y(0) = (0)^3 - 3(0) + 4 = 0 - 0 + 4 = 4
]
Шаг 5: Сравнить найденные значения
Теперь у нас есть три значения функции на отрезке ([-2; 0]):
- ( y(-2) = 2 )
- ( y(-1) = 6 )
- ( y(0) = 4 )
Наибольшее значение среди них:
[
\text{max}(2, 6, 4) = 6
]
Ответ
Наибольшее значение функции ( y = x^3 - 3x + 4 ) на отрезке ([-2; 0]) равно ( 6 ) и достигается при ( x = -1 ).
