решите уравнение √x+1=x-5

Давайте решим уравнение \(\sqrt{x} + 1 = x - 5\) шаг за шагом.

Шаг 1: Изолируем корень

Сначала перенесём все члены, не содержащие корень, на одну сторону уравнения. Для этого вычтем 1 из обеих сторон: \[ \sqrt{x} = x - 6 \]

Шаг 2: Возводим обе стороны в квадрат

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе стороны уравнения в квадрат: \[ (\sqrt{x})^2 = (x - 6)^2 \] Это приводит нас к: \[ x = (x - 6)(x - 6) \] Раскроем скобки: \[ x = x^2 - 12x + 36 \]

Шаг 3: Переносим все члены в одну сторону

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения: \[ 0 = x^2 - 12x + 36 - x \] Упрощая, получаем: \[ 0 = x^2 - 13x + 36 \] Теперь мы имеем квадратное уравнение.

Шаг 4: Находим корни квадратного уравнения

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -13\), \(c = 36\).

Вычисляем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25 \]

Теперь подставим значения в формулу: \[ x = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{13 \pm 5}{2} \] Находим два корня:

1. \(x_1 = \frac{18}{2} = 9\)
2. \(x_2 = \frac{8}{2} = 4\)

Шаг 5: Проверяем найденные корни

Нам нужно проверить, подходит ли каждый из корней в исходное уравнение:

1. Для \(x = 9\): \[ \sqrt{9} + 1 = 3 + 1 = 4 \] \[ 9 - 5 = 4 \] Оба части равны, значит \(x = 9\) является корнем.

2. Для \(x = 4\): \[ \sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = 3 \] \[ 4 - 5 = -1 \] Оба части не равны, значит \(x = 4\) не является корнем.

Ответ

Единственный корень уравнения \(\sqrt{x} + 1 = x - 5\) это: \[ x = 9 \]

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решать такие уравнения! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь обращаться.