2x -2y+7z=-11 -3x+5y-3z=-6 x+3y+z=2 2x+6y-Z=2 X-y+22=7 3x+4y-3z=-8 x+3y-2z=1 6x-y+3z=-1 2x+2y-z=1
Для решения систем линейных уравнений, представленных в задаче, мы будем использовать метод подстановки или метод исключения (метод Гаусса). Я покажу это на нескольких системах.
Первая система
- \( 2x - 2y + 7z = -11 \)
- \( -3x + 5y - 3z = -6 \)
- \( x + 3y + z = 2 \)
Шаг 1: Выразим одну переменную через другие.
Начнём с третьего уравнения, которое проще всего. Выразим \( z \):
\[ z = 2 - x - 3y \]
Шаг 2: Подставим \( z \) в первые два уравнения.
Теперь подставим это выражение для \( z \) в остальные уравнения.
Первое уравнение:
\[ 2x - 2y + 7(2 - x - 3y) = -11 \]
Раскроем скобки:
\[ 2x - 2y + 14 - 7x - 21y = -11 \]
Упрощаем:
\[ -5x - 23y + 14 = -11 \] \[ -5x - 23y = -25 \] \[ 5x + 23y = 25 \quad (1) \]
Второе уравнение:
\[ -3x + 5y - 3(2 - x - 3y) = -6 \]
Раскроем скобки:
\[ -3x + 5y - 6 + 3x + 9y = -6 \]
Упрощаем:
\[ 14y - 6 = -6 \] \[ 14y = 0 \] \[ y = 0 \quad (2) \]
Шаг 3: Подставим \( y \) назад в \( (1) \)
Теперь подставим \( y = 0 \) в (1):
\[ 5x + 23(0) = 25 \] \[ 5x = 25 \] \[ x = 5 \]
Шаг 4: Найдем \( z \)
Теперь подставим \( x \) и \( y \) обратно в выражение для \( z \):
\[ z = 2 - 5 - 3(0) = 2 - 5 = -3 \]
Результат первой системы:
\[ x = 5, \quad y = 0, \quad z = -3 \]
Вторая система
- \( 2x + 6y - z = 2 \)
- \( x - y + 22 = 7 \)
- \( 3x + 4y - 3z = -8 \)
Шаг 1: Преобразуем второе уравнение.
\[ x - y = 7 - 22 \] \[ x - y = -15 \quad \Rightarrow \quad x = y - 15 \quad (3) \]
Шаг 2: Подставим \( x \) в остальные уравнения.
Подставляем (3) в первое уравнение:
\[ 2(y - 15) + 6y - z = 2 \] \[ 2y - 30 + 6y - z = 2 \] \[ 8y - 30 - z = 2 \] \[ 8y - z = 32 \] \[ z = 8y - 32 \quad (4) \]
Теперь подставляем (3) и (4) во второе уравнение:
\[ 3(y - 15) + 4y - 3(8y - 32) = -8 \] \[ 3y - 45 + 4y - 24y + 96 = -8 \] \[ -17y + 51 = -8 \] \[ -17y = -59 \] \[ y = \frac{59}{17} \quad (5) \]
Теперь подставим (5) в (3) и (4):
\[ x = \frac{59}{17} - 15 = \frac{59 - 255}{17} = \frac{-196}{17} \]
\[ z = 8 \cdot \frac{59}{17} - 32 = \frac{472}{17} - \frac{544}{17} = \frac{-72}{17} \]
Результаты второй системы:
\[ x = -\frac{196}{17}, \quad y = \frac{59}{17}, \quad z = -\frac{72}{17} \]
Третья система
- \( x + 3y - 2z = 1 \)
- \( 6x - y + 3z = -1 \)
- \( 2x + 2y - z = 1 \)
Шаг 1: Выразим \( z \) из первого уравнения.
\[ 2z = x + 3y - 1 \] \[ z = \frac{x + 3y - 1}{2} \quad (6) \]
Шаг 2: Подставим в остальные уравнения.
Подставим (6) во второе уравнение:
\[ 6x - y + 3\left(\frac{x + 3y - 1}{2}\right) = -1 \]
Упрощаем:
\[ 6x - y + \frac{3x + 9y - 3}{2} = -1 \]
Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей:
\[ 12x - 2y + 3x + 9y - 3 = -2 \] \[ 15x + 7y - 3 = -2 \] \[ 15x + 7y = 1 \quad (7) \]
Теперь подставим (6) в третье уравнение:
\[ 2x + 2y - \frac{x + 3y - 1}{2} = 1 \]
Умножим на 2:
\[ 4x + 4y - (x + 3y - 1) = 2 \]
Опять упрощаем:
\[ 4x + 4y - x - 3y + 1 = 2 \] \[ 3x + y + 1 = 2 \] \[ 3x + y = 1 \quad (8) \]
Шаг 3: Решим систему уравнений (7) и (8).
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( 15x + 7y = 1 \)
- \( 3x + y = 1 \)
Решим (8) относительно \( y \):
\[ y = 1 - 3x \quad (9) \]
Подставим в (7):
\[ 15x + 7(1 - 3x) = 1 \] \[ 15x + 7 - 21x = 1 \] \[ -6x + 7 = 1 \] \[ -6x = -6 \] \[ x = 1 \]
Теперь подставим обратно в (9):
\[ y = 1 - 3(1) = -2 \]
Найдём \( z \) подставив \( x \) и \( y \) в (6):
\[ z = \frac{1 + 3(-2) - 1}{2} = \frac{1 - 6 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]
Результат третьей системы:
\[ x = 1, \quad y = -2, \quad z = -3 \]
Теперь у вас есть подробные решения для каждой из трёх систем уравнений. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется больше примеров, не стесняйтесь спрашивать!
