Найти и построить область определения функций одной переменной (а,б) и двух переменных (в)
Для решения задачи найдем область определения каждой функции.
а) \( f(x) = \log(3 - 2x - x^2) \)
Область определения логарифмической функции требует, чтобы подлогарифмическое выражение было положительным:
\[ 3 - 2x - x^2 > 0 \]
Решим это неравенство:
- Представим его как квадратное неравенство:
\[ -x^2 - 2x + 3 > 0 \]
- Перепишем в стандартной форме:
\[ - (x^2 + 2x - 3) > 0 \]
- Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 2x - 3 = 0 \) по формуле:
\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -3 \).
Дискриминант:
\[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]
Корни:
\[ x_1 = \frac{{-2 + 4}}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{{-2 - 4}}{2} = -3 \]
- Найдем промежутки, где \( x^2 + 2x - 3 < 0 \) с помощью проверки знаков на интервалах:
- При \( x < -3 \), \((- \infty, -3)\): знак "+".
- При \( -3 < x < 1 \): знак "-".
- При \( x > 1 \), \((1, \infty)\): знак "+".
Таким образом, область определения функции:
\[ -3 < x < 1 \]
б) \( f(x) = \sqrt{\frac{2x+7}{3x-6}} \)
Область определения корня квадратного требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, и знаменатель не равнялся нулю:
\[ \frac{2x+7}{3x-6} \geq 0 \] \[ 3x - 6 \neq 0 \rightarrow x \neq 2 \]
Рассмотрим неравенство:
- \( 2x + 7 \geq 0 \)
- \( 3x - 6 > 0 \) или \( < 0 \) для поиска знаков.
Для полных решений:
- \( 2x + 7 = 0 \rightarrow x = -\frac{7}{2} \)
- Знаки числителя: \( x > -\frac{7}{2} \)
Знаки знаменателя:
- \( 3x - 6 = 0 \rightarrow x = 2 \)
- На интервалах:
- \((-\infty, -\frac{7}{2})\): оба компонента отрицательны — подкоренное отрицательно.
- \((- \frac{7}{2}, 2)\): числитель положителен, знаменатель отрицателен — подкоренное отрицательно.
- \((2, \infty)\): оба компонента положительны — подкоренное положительно.
Таким образом, \( x > 2 \).
в) \( z = \sqrt{x - y^2} \)
Для функции двух переменных:
Требуется, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:
\[ x - y^2 \geq 0 \] \[ x \geq y^2 \]
Это означает, что \( x \) должен быть больше или равен квадрату \( y \). Область определения:
\[ x \in [y^2, \infty) \]
Здесь неравенство определяет область в координатной плоскости, которая находится выше или на параболе \( x = y^2 \).
Таким образом, мы определили области определения каждой из функций.
