Найти и построить область определения функций одной переменной (а,б) и двух переменных (в)

Для решения задачи найдем область определения каждой функции. **а) \( f(x) = \log(3 - 2x - x^2) \)** Область определения логарифмической функции требует, чтобы подлогарифмическое выражение было положительным: \[ 3 - 2x - x^2 > 0 \] Решим это неравенство: 1. Представим его как квадратное неравенство: \[ -x^2 - 2x + 3 > 0 \] 2. Перепишем в стандартной форме: \[ - (x^2 + 2x - 3) > 0 \] 3. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 2x - 3 = 0 \) по формуле: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -3 \). Дискриминант: \[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \] Корни: \[ x_1 = \frac{{-2 + 4}}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{{-2 - 4}}{2} = -3 \] 4. Найдем промежутки, где \( x^2 + 2x - 3 < 0 \) с помощью проверки знаков на интервалах: - При \( x < -3 \), \((- \infty, -3)\): знак "+". - При \( -3 < x < 1 \): знак "-". - При \( x > 1 \), \((1, \infty)\): знак "+". Таким образом, область определения функции: \[ -3 < x < 1 \] **б) \( f(x) = \sqrt{\frac{2x+7}{3x-6}} \)** Область определения корня квадратного требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, и знаменатель не равнялся нулю: \[ \frac{2x+7}{3x-6} \geq 0 \] \[ 3x - 6 \neq 0 \rightarrow x \neq 2 \] Рассмотрим неравенство: - \( 2x + 7 \geq 0 \) - \( 3x - 6 > 0 \) или \( < 0 \) для поиска знаков. Для полных решений: 1. \( 2x + 7 = 0 \rightarrow x = -\frac{7}{2} \) 2. Знаки числителя: \( x > -\frac{7}{2} \) Знаки знаменателя: 3. \( 3x - 6 = 0 \rightarrow x = 2 \) 4. На интервалах: - \((-\infty, -\frac{7}{2})\): оба компонента отрицательны — подкоренное отрицательно. - \((- \frac{7}{2}, 2)\): числитель положителен, знаменатель отрицателен — подкоренное отрицательно. - \((2, \infty)\): оба компонента положительны — подкоренное положительно. Таким образом, \( x > 2 \). **в) \( z = \sqrt{x - y^2} \)** Для функции двух переменных: Требуется, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: \[ x - y^2 \geq 0 \] \[ x \geq y^2 \] Это означает, что \( x \) должен быть больше или равен квадрату \( y \). Область определения: \[ x \in [y^2, \infty) \] Здесь неравенство определяет область в координатной плоскости, которая находится выше или на параболе \( x = y^2 \). Таким образом, мы определили области определения каждой из функций.