Определи площадь фигуры ограниченной линиями y = x, Y = 11 - x, x = 0, x = 5

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x\), \(y = 11 - x\), \(x = 0\) и \(x = 5\), давайте следовать пошагово:

Шаг 1: Нарисуем график

1. Линия \(y = x\) — это прямая, проходящая через начало координат и имеющая угловой коэффициент 1. Она поднимается под углом 45 градусов.

2. Линия \(y = 11 - x\) — это прямая, пересекающая ось \(y\) в точке (0, 11) и ось \(x\) в точке (11, 0). Она имеет угловой коэффициент -1.

3. Линии \(x = 0\) и \(x = 5\) — это вертикальные линии.

Шаг 2: Найдем точки пересечения

Чтобы найти точки пересечения линий \(y = x\) и \(y = 11 - x\), приравняем их:

\[ x = 11 - x \]

Решаем это уравнение:

\[ 2x = 11 \implies x = \frac{11}{2} = 5.5 \]

Теперь подставим \(x\) в одно из уравнений, чтобы найти \(y\):

\[ y = x = 5.5 \]

Таким образом, точки пересечения — это \( (5.5, 5.5) \).

Шаг 3: Определим границы интегрирования

Поскольку мы ограничены вертикальными линиями \(x = 0\) и \(x = 5\), нам нужно проанализировать фигуру:

• Когда \(x\) варьируется от 0 до 5, линия \(y = x\) будет ниже линии \(y = 11 - x\) и мы видим, что

1. Для \(x = 0\):

   • \(y = x \to y = 0\)
   • \(y = 11 - x \to y = 11\)

2. Для \(x = 5\):

   • \(y = x \to y = 5\)
   • \(y = 11 - x \to y = 6\)

Шаг 4: Найдем площадь

Площадь фигуры можно найти, используя интеграл:

\[ \text{Площадь} = \int_{0}^{5} ((11 - x) - x) \, dx \]

Где \( (11 - x) \) — это верхняя граница, а \( x \) — нижняя.

Шаг 5: Упростим интеграл

Подставим и упростим:

\[ \text{Площадь} = \int_{0}^{5} (11 - 2x) \, dx \]

Шаг 6: Посчитаем интеграл

Теперь вычислим интеграл:

\[ \int (11 - 2x) \, dx = 11x - x^2 \]

Теперь подставим границы от 0 до 5:

\[ \text{Площадь} = [11(5) - (5)^2] - [11(0) - (0)^2] \] \[ = [55 - 25] - [0] \] \[ = 30 \]

Ответ

Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 30 квадратным единицам.