Определи площадь фигуры ограниченной линиями y = x, Y = 11 - x, x = 0, x = 5

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x\), \(y = 11 - x\), \(x = 0\) и \(x = 5\), давайте следовать пошагово: ### Шаг 1: Нарисуем график 1. **Линия \(y = x\)** — это прямая, проходящая через начало координат и имеющая угловой коэффициент 1. Она поднимается под углом 45 градусов. 2. **Линия \(y = 11 - x\)** — это прямая, пересекающая ось \(y\) в точке (0, 11) и ось \(x\) в точке (11, 0). Она имеет угловой коэффициент -1. 3. **Линии \(x = 0\)** и **\(x = 5\)** — это вертикальные линии. ### Шаг 2: Найдем точки пересечения Чтобы найти точки пересечения линий \(y = x\) и \(y = 11 - x\), приравняем их: \[ x = 11 - x \] Решаем это уравнение: \[ 2x = 11 \implies x = \frac{11}{2} = 5.5 \] Теперь подставим \(x\) в одно из уравнений, чтобы найти \(y\): \[ y = x = 5.5 \] Таким образом, точки пересечения — это \( (5.5, 5.5) \). ### Шаг 3: Определим границы интегрирования Поскольку мы ограничены вертикальными линиями \(x = 0\) и \(x = 5\), нам нужно проанализировать фигуру: - Когда \(x\) варьируется от 0 до 5, линия \(y = x\) будет ниже линии \(y = 11 - x\) и мы видим, что 1. Для \(x = 0\): - \(y = x \to y = 0\) - \(y = 11 - x \to y = 11\) 2. Для \(x = 5\): - \(y = x \to y = 5\) - \(y = 11 - x \to y = 6\) ### Шаг 4: Найдем площадь Площадь фигуры можно найти, используя интеграл: \[ \text{Площадь} = \int_{0}^{5} ((11 - x) - x) \, dx \] Где \( (11 - x) \) — это верхняя граница, а \( x \) — нижняя. ### Шаг 5: Упростим интеграл Подставим и упростим: \[ \text{Площадь} = \int_{0}^{5} (11 - 2x) \, dx \] ### Шаг 6: Посчитаем интеграл Теперь вычислим интеграл: \[ \int (11 - 2x) \, dx = 11x - x^2 \] Теперь подставим границы от 0 до 5: \[ \text{Площадь} = [11(5) - (5)^2] - [11(0) - (0)^2] \] \[ = [55 - 25] - [0] \] \[ = 30 \] ### Ответ Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 30 квадратным единицам.