Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x) =x^3-3x^2+3x+2 на отрезке [-2;2]
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 2 \) на отрезке \([-2; 2]\), нам нужно выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Найти производную функции
Сначала найдём первую производную функции \( f(x) \), чтобы определить критические точки, где производная равна нулю или не существует.
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 3x + 2) = 3x^2 - 6x + 3 \]
Шаг 2: Найти критические точки
Приравняем производную к нулю:
\[ 3x^2 - 6x + 3 = 0 \]
Упростим уравнение, поделив все члены на 3:
\[ x^2 - 2x + 1 = 0 \]
Это уравнение можно записать как:
\[ (x - 1)^2 = 0 \]
Отсюда следует, что \( x = 1 \) – это единственная критическая точка.
Шаг 3: Найти значения функции в критических и граничных точках
Теперь найдем значения функции \( f(x) \) на границах отрезка и в критической точке:
Граничные точки:
- Для \( x = -2 \): \[ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 + 3(-2) + 2 = -8 - 12 - 6 + 2 = -24 \]
- Для \( x = 2 \): \[ f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 3(2) + 2 = 8 - 12 + 6 + 2 = 4 \]
Критическая точка:
- Для \( x = 1 \): \[ f(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 3(1) + 2 = 1 - 3 + 3 + 2 = 3 \]
Шаг 4: Сравнить значения функции
Теперь сравним значения функции в граничных и критических точках:
- \( f(-2) = -24 \)
- \( f(1) = 3 \)
- \( f(2) = 4 \)
Шаг 5: Найти наибольшее и наименьшее значение
Исходя из вычисленных значений, мы можем сделать вывод:
- Наименьшее значение \( f(x) \) на отрезке \([-2; 2]\) равно \(-24\) при \( x = -2 \).
- Наибольшее значение \( f(x) \) на отрезке \([-2; 2]\) равно \( 4 \) при \( x = 2 \).
Ответ:
- Наименьшее значение: \(-24\) при \( x = -2 \)
- Наибольшее значение: \(4\) при \( x = 2\)
