Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x) =x^3-3x^2+3x+2 на отрезке [-2;2]

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 2 \) на отрезке \([-2; 2]\), нам нужно выполнить следующие шаги: ### Шаг 1: Найти производную функции Сначала найдём первую производную функции \( f(x) \), чтобы определить критические точки, где производная равна нулю или не существует. \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 3x + 2) = 3x^2 - 6x + 3 \] ### Шаг 2: Найти критические точки Приравняем производную к нулю: \[ 3x^2 - 6x + 3 = 0 \] Упростим уравнение, поделив все члены на 3: \[ x^2 - 2x + 1 = 0 \] Это уравнение можно записать как: \[ (x - 1)^2 = 0 \] Отсюда следует, что \( x = 1 \) – это единственная критическая точка. ### Шаг 3: Найти значения функции в критических и граничных точках Теперь найдем значения функции \( f(x) \) на границах отрезка и в критической точке: 1. **Граничные точки:** - Для \( x = -2 \): \[ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 + 3(-2) + 2 = -8 - 12 - 6 + 2 = -24 \] - Для \( x = 2 \): \[ f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 3(2) + 2 = 8 - 12 + 6 + 2 = 4 \] 2. **Критическая точка:** - Для \( x = 1 \): \[ f(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 3(1) + 2 = 1 - 3 + 3 + 2 = 3 \] ### Шаг 4: Сравнить значения функции Теперь сравним значения функции в граничных и критических точках: - \( f(-2) = -24 \) - \( f(1) = 3 \) - \( f(2) = 4 \) ### Шаг 5: Найти наибольшее и наименьшее значение Исходя из вычисленных значений, мы можем сделать вывод: - Наименьшее значение \( f(x) \) на отрезке \([-2; 2]\) равно \(-24\) при \( x = -2 \). - Наибольшее значение \( f(x) \) на отрезке \([-2; 2]\) равно \( 4 \) при \( x = 2 \). ### Ответ: - Наименьшее значение: \(-24\) при \( x = -2 \) - Наибольшее значение: \(4\) при \( x = 2\)