Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)= 9-6x^2-х^3 на отрезке [-4;2]

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = 9 - 6x^2 - x^3 \) на отрезке \( [-4; 2] \), нам нужно выполнить следующие шаги: 1. **Найти производную функции**. 2. **Определить критические точки**. 3. **Вычислить значения функции в критических точках и концах отрезка**. 4. **Сравнить эти значения, чтобы найти наибольшее и наименьшее**. ### Шаг 1: Найти производную функции Находим производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(9 - 6x^2 - x^3) = 0 - 12x - 3x^2 = -3x^2 - 12x \] ### Шаг 2: Определить критические точки Приравняем производную к нулю: \[ -3x^2 - 12x = 0 \] Вынесем общий множитель: \[ -3x(x + 4) = 0 \] Таким образом, критические точки: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \] ### Шаг 3: Вычислить значения функции Теперь вычислим значения функции в найденных критических точках и концах отрезка: 1. \( f(-4) \): \[ f(-4) = 9 - 6(-4)^2 - (-4)^3 = 9 - 6 \cdot 16 + 64 = 9 - 96 + 64 = -23 \] 2. \( f(0) \): \[ f(0) = 9 - 6(0)^2 - (0)^3 = 9 \] 3. \( f(2) \): \[ f(2) = 9 - 6(2)^2 - (2)^3 = 9 - 6 \cdot 4 - 8 = 9 - 24 - 8 = -23 \] ### Шаг 4: Сравнить значения Теперь у нас есть значения функции в критических точках и на концах отрезка: - \( f(-4) = -23 \) - \( f(0) = 9 \) - \( f(2) = -23 \) Наибольшее значение функции на отрезке \( [-4; 2] \) равно \( 9 \) (в точке \( x = 0 \)), а наименьшее значение равно \( -23 \) (в точках \( x = -4 \) и \( x = 2 \)). ### Ответ: - Наибольшее значение: \( 9 \) (при \( x = 0 \)) - Наименьшее значение: \( -23 \) (при \( x = -4 \) и \( x = 2 \))