Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)= 9-6x^2-х^3 на отрезке [-4;2]
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = 9 - 6x^2 - x^3 \) на отрезке \( [-4; 2] \), нам нужно выполнить следующие шаги:
- Найти производную функции.
- Определить критические точки.
- Вычислить значения функции в критических точках и концах отрезка.
- Сравнить эти значения, чтобы найти наибольшее и наименьшее.
Шаг 1: Найти производную функции
Находим производную \( f'(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(9 - 6x^2 - x^3) = 0 - 12x - 3x^2 = -3x^2 - 12x \]
Шаг 2: Определить критические точки
Приравняем производную к нулю:
\[ -3x^2 - 12x = 0 \]
Вынесем общий множитель:
\[ -3x(x + 4) = 0 \]
Таким образом, критические точки:
\[ x = 0 \quad \text{и} \quad x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \]
Шаг 3: Вычислить значения функции
Теперь вычислим значения функции в найденных критических точках и концах отрезка:
\( f(-4) \): \[ f(-4) = 9 - 6(-4)^2 - (-4)^3 = 9 - 6 \cdot 16 + 64 = 9 - 96 + 64 = -23 \]
\( f(0) \): \[ f(0) = 9 - 6(0)^2 - (0)^3 = 9 \]
\( f(2) \): \[ f(2) = 9 - 6(2)^2 - (2)^3 = 9 - 6 \cdot 4 - 8 = 9 - 24 - 8 = -23 \]
Шаг 4: Сравнить значения
Теперь у нас есть значения функции в критических точках и на концах отрезка:
- \( f(-4) = -23 \)
- \( f(0) = 9 \)
- \( f(2) = -23 \)
Наибольшее значение функции на отрезке \( [-4; 2] \) равно \( 9 \) (в точке \( x = 0 \)), а наименьшее значение равно \( -23 \) (в точках \( x = -4 \) и \( x = 2 \)).
Ответ:
- Наибольшее значение: \( 9 \) (при \( x = 0 \))
- Наименьшее значение: \( -23 \) (при \( x = -4 \) и \( x = 2 \))
