Зная, что разность арифметической прогрессии d=- 0,25, а сумма первых пятидесяти членов равняется 56,25 определи значение первого члена прогрессии. 9 класс

Чтобы решить задачу, давайте разберёмся с основными понятиями арифметической прогрессии.

1. Определения:

   • Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Эта разность называется d.
   • Первый член прогрессии будем обозначать как a.
   • Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n - 1)d) \] где:
   • \( S_n \) — сумма первых n членов,
   • n — количество членов,
   • d — разность,
   • a — первый член.

2. Дано:

   • Разность \( d = -0.25 \)
   • Сумма первых 50 членов \( S_{50} = 56.25 \)
   • Количество членов \( n = 50 \)

3. Подставляем данные в формулу: Подставим известные значения в формулу суммы: \[ S_{50} = \frac{50}{2} (2a + (50 - 1)(-0.25)) \] Упрощаем: \[ S_{50} = 25 (2a + 49(-0.25)) \] \[ S_{50} = 25 (2a - 12.25) \]

4. Приравниваем к известной сумме: Теперь приравняем это выражение к известной сумме: \[ 25(2a - 12.25) = 56.25 \]

5. Решаем уравнение: Делим обе стороны на 25: \[ 2a - 12.25 = \frac{56.25}{25} \] \[ 2a - 12.25 = 2.25 \] Теперь решим для \( a \): \[ 2a = 2.25 + 12.25 \] \[ 2a = 14.5 \] \[ a = \frac{14.5}{2} = 7.25 \]

6. Ответ: Значение первого члена прогрессии \( a = 7.25 \).

Мы определили значение первого члена арифметической прогрессии, используя формулу суммы и подставив известные данные.