Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Оказалось, что ∠C=135∘ и AB=AE=ED. Найдите угол E этого пятиугольника.

Чтобы найти угол \( E \) в пятиугольнике, начнем с анализа геометрии вписанного пятиугольника и свойств равнобедренных треугольников.

1. Углы вписанного четырёхугольника:

   • Известно, что пятиугольник \( ABCDE \) вписан в окружность, значит, противоположные углы такого четырёхугольника в сумме дают \( 180^\circ \).

2. Рассмотрим равнобедренные треугольники:

   • Дано, что \( AB = AE = ED \). Это значит, что треугольники \( ABE \) и \( AED \) равнобедренные.

3. Углы равнобедренного треугольника \( ABE \):

   • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим угол \( \angle BAE = x \).
   • Тогда \( \angle ABE = x \).

4. Центральный угол и вписанный угол:

   • Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, связаны: центральный угол в два раза больше вписанного.
   • Из этого следует, что \( \angle C = 135^\circ \) опирается на дугу \( AE \). Значит центральный угол \( \angle AOE = 2 \times 65^\circ = 130^\circ \).

5. Вписанные углы \( ABE \):

   • С учетом \( \angle ABE = x \) и факта, что \( \angle C = 135^\circ \), мы знаем, что все углы в треугольнике \( ABE \) должны в сумме составлять \( 180^\circ \).
   • Следовательно: \[ x + x + 135^\circ = 180^\circ \] \[ 2x = 45^\circ \] \[ x = 22.5^\circ \]

6. **Найдем угол \( \angle E:** - Так как треугольник \( AED \) тоже равнобедренный, \( \angle EAD = \angle AED \).

   • Пусть \( \angle EAD = y \).
   • Тогда для треугольника \( AED \): \[ y + y + x = 180^\circ \] \[ 2y + 22.5^\circ = 180^\circ \] \[ 2y = 157.5^\circ \] \[ y = 78.75^\circ \]

Из вышеприведенного анализа мы можем определить, что \( \angle E \approx 78.75^\circ \), используя все свойства и условия задачи.