А. Кабанов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может а) добавить в кучу один камень; б) добавить в кучу два камня; в) добавить в кучу три камня; г) увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче превышает 33. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 34 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 33. Ответьте на следующие вопросы: Вопрос 1. Найдите значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети. Вопрос 2. Найдите минимальное и максимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: − Петя не может выиграть за один ход; − Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания. Вопрос 3. Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия: – у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; – у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Для решения данной задачи мы проанализируем ход игры для Петя и Вани, чтобы понять, какие стратегии ведут к победе в зависимости от количества камней в начале игры (S). ### Вопрос 1. Найдите значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети. Чтобы Ваня выигрывал своим первым ходом, нужно, чтобы Петя не мог сделать ход, приводящий к победе, а Ваня мог бы сделать так, чтобы после своего хода количество камней превышало 33. Смотрим на возможные значения S от 1 до 33: 1. Если S = 32, то Петя может добавить 1 камень (переделка 33, победа Вани). 2. Если S = 31, Петя добавляет 1 или 2 (32 или 33, победа Вани). 3. Если S = 30, Петя может добавить 1, 2 или 3 (31, 32 или 33, победа Вани). 4. Если S = 29, Петя может также получить 30, 31 или 32. 5. Если S = 28, аналогично, Ваня всегда сможет сделать так, чтобы победить. 6. Если S = 27, Ваня также сможет гарантировать победу. 7. Если S = 26, Ваня тоже может победить. Таким образом, при **S = 24 (и ниже)**, если Петя добавит любое количество камней (1-3 или удвоение), то Ваня сможет найти ход, который приведет к гарантированной победе. Ответ на Вопрос 1: **S = 24**. ### Вопрос 2. Найдите минимальное и максимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причем одновременно выполняются два условия: − Петя не может выиграть за один ход; − Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Если Петя должен выбрать такое S, чтобы: 1. За один ход он не мог гарантировать победу (это происходит при S = 31 и ниже). 2. На втором ходе сможет победить. Теперь мы ищем такие S, при которых у Петя есть возможность подготовки под свой второй ход, и никаких выигрышей за первый. Давайте проанализируем: - **S = 31**. Если Петя добавляет 1, Ваня выбирает 1, 2 или 3 (забирает 32, 33 и Петя не выигрывает). - **S = 30**. Если же тут добавляет 2 (и даже 3, если Ваня также не привлекается к побегу). Заключаем, что у Пети есть выигрышная стратегия: - Минимум S = 30, максимум S = 31. Ответ на Вопрос 2: **S = 30 и 31**. ### Вопрос 3. Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия: – У Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; – У Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Это значит, что существует такое значение S, где Ваня не выигрывает за первый ход, но в зависимости от тактики Пети он может пользоваться стратегией второго хода. Верхние значения S, где Петя может избежать прогресса к 33: - Для S = 32 и 33, Ваня может гарантировать победу. - Чтобы не было возможности первого побега, проанализируем вниз. Заключаем, что случай, где Ваня имеет гарантированную победу во втором ходе — это значение за нижними порогами 30-31, нижние строки 33. Ответ на Вопрос 3: **S = 31**.