1: Задача #134B52
Баллы: 2
Три натуральных числа
a,
b и
c таковы, что НОД
(a,b)=400, НОД
(a,c)=500, НОД
(b,c)=100.
Какое наименьшее значение может принимать НОК
(a,b,c)?
Пример записи ответа:
17
Для решения этой задачи будем использовать свойства делимости и формулы, связанные с НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное).
Дано:
- НОД(a, b) = 400
- НОД(a, c) = 500
- НОД(b, c) = 100
Для нахождения НОК(a, b, c) можно воспользоваться формулой:
\[
\text{НОК}(x, y) = \frac{x \cdot y}{\text{НОД}(x, y)}
\]
Ступени решения:
1. **Выразим числа через НОДы:**
Поскольку НОД(a, b) = 400, мы можем написать:
- a = 400k₁
- b = 400l₁
Для некоторых натуральных k₁ и l₁, где НОД(k₁, l₁) = 1.
Аналогично для a и c:
- a = 500k₂
- c = 500m
Для некоторых натуральных k₂ и m, где НОД(k₂, m) = 1.
И для b и c:
- b = 100l₂
- c = 100n
Для некоторых натуральных l₂ и n, где НОД(l₂, n) = 1.
2. **Приведем все числа к общему виду:**
Поскольку NOD одного из чисел у нас уже дан:
- 400 = 2^4 × 5^2
- 500 = 2^2 × 5^3
- 100 = 2^2 × 5^2
3. **Найдём НОК(a, b, c):**
Вместо нахождения всех значений a, b и c, мы можем воспользоваться следующей формулой:
\[
\text{НОК}(a, b, c) = \frac{a \cdot b \cdot c}{\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОД}(a, c) \cdot \text{НОД}(b, c)}
\]
4. **Изучим вопросы зависимости переменных:**
Обратим внимание на то, что в данной формуле нас интересуют только НОК= основная часть делителей, примеры применения.
Это значит, нам нужно взять наибольшие степени простых чисел, которые определяются НОДами:
\[
\text{НОК}(a, b, c) = 2^{\max(4, 2, 2)} \cdot 5^{\max(2, 3, 2)}
\]
Это значит, что:
\[
\text{НОК}(a, b, c) = 2^4 \cdot 5^3 = 16 \cdot 125 = 2000
\]
5. **Ответ:**
Наименьшее значение, которое может принимать НОК(a, b, c), равно 2000.
Таким образом, окончательный ответ — 2000.
