Найдите пятый член арифметической прогрессии, если её второй член равен 2 + √3 а шестой равен 6 - 3√3

Чтобы найти пятый член арифметической прогрессии (АП), давайте сначала определимся с тем, что такое арифметическая прогрессия. В арифметической прогрессии каждый следующий член получается путем добавления постоянного значения (называемого разностью прогрессии) к предыдущему члену. Если обозначить первый член как \( a_1 \) и разность прогрессии как \( d \), то \( n \)-й член прогрессии можно выразить формулой: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] В данной задаче нам известны второй и шестой члены прогрессии: - Второй член \( a_2 = 2 + \sqrt{3} \) - Шестой член \( a_6 = 6 - 3\sqrt{3} \) Воспользуемся формулой для членов прогрессии, чтобы записать выражения для \( a_2 \) и \( a_6 \): 1. Для второго члена \( a_2 \): \[ a_2 = a_1 + d = 2 + \sqrt{3} \quad \text{(1)} \] 2. Для шестого члена \( a_6 \): \[ a_6 = a_1 + 5d = 6 - 3\sqrt{3} \quad \text{(2)} \] Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим (1) в (2) для поиска \( d \). В уравнении (1) выразим \( a_1 \): \[ a_1 = (2 + \sqrt{3}) - d \] Теперь подставим это выражение для \( a_1 \) в уравнение (2): \[ (2 + \sqrt{3} - d) + 5d = 6 - 3\sqrt{3} \] Упрощая, получаем: \[ 2 + \sqrt{3} - d + 5d = 6 - 3\sqrt{3} \] Соберём подобные: \[ 2 + \sqrt{3} + 4d = 6 - 3\sqrt{3} \] Теперь выразим \( 4d \): \[ 4d = 6 - 3\sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} \] Упрощаем: \[ 4d = 4 - 4\sqrt{3} \] Теперь найдём \( d \): \[ d = \frac{4 - 4\sqrt{3}}{4} = 1 - \sqrt{3} \] Теперь, зная \( d \), будем подставлять его обратно в (1), чтобы найти \( a_1 \): \[ a_1 = (2 + \sqrt{3}) - (1 - \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3} - 1 + \sqrt{3} = 1 + 2\sqrt{3} \] Таким образом, мы нашли первый член прогрессии. Теперь можем найти пятый член \( a_5 \): \[ a_5 = a_1 + 4d = (1 + 2\sqrt{3}) + 4(1 - \sqrt{3}) \] Упростим это выражение: \[ a_5 = 1 + 2\sqrt{3} + 4 - 4\sqrt{3} = 5 - 2\sqrt{3} \] Таким образом, пятый член арифметической прогрессии: \[ \boxed{5 - 2\sqrt{3}} \]