Найдите пятый член арифметической прогрессии, если её второй член равен 2 + √3 а шестой равен 6 - 3√3
Чтобы найти пятый член арифметической прогрессии (АП), давайте сначала определимся с тем, что такое арифметическая прогрессия.
В арифметической прогрессии каждый следующий член получается путем добавления постоянного значения (называемого разностью прогрессии) к предыдущему члену. Если обозначить первый член как \( a_1 \) и разность прогрессии как \( d \), то \( n \)-й член прогрессии можно выразить формулой:
\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]
В данной задаче нам известны второй и шестой члены прогрессии:
- Второй член \( a_2 = 2 + \sqrt{3} \)
- Шестой член \( a_6 = 6 - 3\sqrt{3} \)
Воспользуемся формулой для членов прогрессии, чтобы записать выражения для \( a_2 \) и \( a_6 \):
- Для второго члена \( a_2 \):
\[ a_2 = a_1 + d = 2 + \sqrt{3} \quad \text{(1)} \]
- Для шестого члена \( a_6 \):
\[ a_6 = a_1 + 5d = 6 - 3\sqrt{3} \quad \text{(2)} \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим (1) в (2) для поиска \( d \).
В уравнении (1) выразим \( a_1 \):
\[ a_1 = (2 + \sqrt{3}) - d \]
Теперь подставим это выражение для \( a_1 \) в уравнение (2):
\[ (2 + \sqrt{3} - d) + 5d = 6 - 3\sqrt{3} \]
Упрощая, получаем:
\[ 2 + \sqrt{3} - d + 5d = 6 - 3\sqrt{3} \]
Соберём подобные:
\[ 2 + \sqrt{3} + 4d = 6 - 3\sqrt{3} \]
Теперь выразим \( 4d \):
\[ 4d = 6 - 3\sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} \]
Упрощаем:
\[ 4d = 4 - 4\sqrt{3} \]
Теперь найдём \( d \):
\[ d = \frac{4 - 4\sqrt{3}}{4} = 1 - \sqrt{3} \]
Теперь, зная \( d \), будем подставлять его обратно в (1), чтобы найти \( a_1 \):
\[ a_1 = (2 + \sqrt{3}) - (1 - \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3} - 1 + \sqrt{3} = 1 + 2\sqrt{3} \]
Таким образом, мы нашли первый член прогрессии. Теперь можем найти пятый член \( a_5 \):
\[ a_5 = a_1 + 4d = (1 + 2\sqrt{3}) + 4(1 - \sqrt{3}) \]
Упростим это выражение:
\[ a_5 = 1 + 2\sqrt{3} + 4 - 4\sqrt{3} = 5 - 2\sqrt{3} \]
Таким образом, пятый член арифметической прогрессии:
\[ \boxed{5 - 2\sqrt{3}} \]
