Чтобы решить эту задачу, давайте сначала определим переменные и составим уравнения.
Обозначим:
- ( v ) — собственная скорость лодки (км/ч).
- Скорость течения реки = 3 км/ч.
1. Определим скорости в разных направлениях:
Когда лодка движется против течения, ее эффективная скорость равна ( v - 3 ) (поскольку течения замедляет лодку). Когда лодка движется по течению, ее эффективная скорость будет равна ( v + 3 ).
2. Вычислим время в пути:
Время, затраченное на путь против течения (вперед) можно выразить формулой:
[
t_1 = \frac{72}{v - 3}
]
Время, затраченное на путь по течению (обратный путь):
[
t_2 = \frac{72}{v + 3}
]
3. Условие задачи:
По условию, время на обратный путь меньше на 6 часов, то есть:
[
t_2 = t_1 - 6
]
4. Подставим значения времени:
Таким образом, подставляем полученные выражения в уравнение:
[
\frac{72}{v + 3} = \frac{72}{v - 3} - 6
]
5. Умножим обе стороны на ( (v - 3)(v + 3) ) для исключения дробей:
[
72(v - 3) = 72(v + 3) - 6(v^2 - 9)
]
6. Раскроем скобки:
[
72v - 216 = 72v + 216 - 6v^2 + 54
]
7. Упростим уравнение:
Сначала уберем ( 72v ) с обеих сторон:
[
-216 = 216 - 6v^2 + 54
]
Теперь соберем все члены на одной стороне:
[
-6v^2 + 54 + 216 = 0
]
[
-6v^2 + 270 = 0
]
8. Перепишем уравнение:
Умножим на -1, чтобы упростить:
[
6v^2 = 270
]
9. Разделим обе стороны на 6:
[
v^2 = 45
]
10. Найдем собственную скорость лодки:
[
v = \sqrt{45} \approx 6.71 \text{ км/ч}
]
Ответ:
Собственная скорость лодки составляет примерно 6.71 км/ч.
Теперь вы можете понять, как мы решили задачу, этап за этапом, начиная с определения переменных и заканчивая нахождением собственных значений. Если у вас есть какие-либо вопросы по решению или дополнительные задачи, не стесняйтесь спрашивать!
