Колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности и воздушного конденсатора настроен на длину волны 250 м. При этом расстояние между пластинами конденсатора 8 мм. Каким надо сделать это расстояние, чтобы настроить контур на длину волны 200 м?

Давайте разберемся с этой задачей, связанной с колебательными контурами, индуктивностью и capacitance (емкостью). **Основные понятия:** 1. **Колебательный контур** — это электрическая цепь, состоящая из индуктивного элемента (катушки) и емкостного элемента (конденсатора). 2. **Длина волны (λ)** связана с резонансной частотой колебательного контура через формулу: \[ \lambda = \frac{c}{f} \] где \( c \) — скорость света (приблизительно \( 3 \times 10^8 \) м/с), \( f \) — резонансная частота. 3. **Частота колебаний в контуре** определённая как \[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \] где \( L \) — индуктивность, \( C \) — емкость конденсатора. Используя эти понятия, можно решить задачу. ### Шаги решения: 1. **Установим начальные условия:** - Длина волны \( \lambda_1 = 250 \) м. - Длина волны \( \lambda_2 = 200 \) м. - Расстояние между пластинами начального конденсатора \( d_1 = 8 \) мм = 0.008 м. 2. **Находим частоты для двух длин волн:** \[ f_1 = \frac{c}{\lambda_1} = \frac{3 \times 10^8}{250} = 1.2 \times 10^6 \text{ Гц} \] \[ f_2 = \frac{c}{\lambda_2} = \frac{3 \times 10^8}{200} = 1.5 \times 10^6 \text{ Гц} \] 3. **Известно, что \( f \) зависит от емкости \( C \):** Так как индуктивность \( L \) постоянна (не меняется), то изменение частоты связано с изменением емкости: \[ f \propto \frac{1}{\sqrt{C}} \] Таким образом, соотношение между частотами и емкостями будет: \[ \frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{C_2}{C_1}} \] 4. **Вычисляем емкости:** Перепишем уравнение: \[ \left( \frac{f_1}{f_2} \right)^2 = \frac{C_2}{C_1} \] 5. **Находим относительную емкость:** \[ \frac{f_1}{f_2} = \frac{1.2 \times 10^6}{1.5 \times 10^6} = 0.8 \implies \left(0.8\right)^2 = 0.64 \implies \frac{C_2}{C_1} = 0.64 \] Значит, емкость \( C_2 = 0.64 C_1 \). 6. **Связь между емкостью и расстоянием:** Емкость конденсатора определяется формулой: \[ C = \frac{\varepsilon_0 \cdot S}{d} \] где \( \varepsilon_0 \) — диэлектрическая проницаемость воздуха, \( S \) — площадь пластин, \( d \) — расстояние между ними. Из этого следует, что емкость обратно пропорциональна расстоянию между пластинами: \[ C \propto \frac{1}{d} \] Следовательно: \[ \frac{C_1}{C_2} = \frac{d_2}{d_1} = \frac{d_2}{0.008} \] 7. **Составляем уравнение:** У нас есть: \[ C_1 = 0.64 C_2 \implies \frac{C_2}{C_1} = \frac{1}{0.64} = \frac{d_1}{d_2} \] 8. **Ищем \( d_2 \):** Получаем: \[ \frac{d_1}{d_2} = 1.5625 \implies 0.008 = 1.5625 d_2 \implies d_2 = \frac{0.008}{1.5625} \approx 0.00512 \text{ м} = 5.12 \text{ мм} \] ### Ответ: Чтобы настроить контур на длину волны 200 м, расстояние между пластинами конденсатора необходимо уменьшить до примерно **5.12 мм**.