Колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности и воздушного конденсатора настроен на длину волны 250 м. При этом расстояние между пластинами конденсатора 8 мм. Каким…

Давайте разберемся с этой задачей, связанной с колебательными контурами, индуктивностью и capacitance (емкостью).

Основные понятия:

1. Колебательный контур — это электрическая цепь, состоящая из индуктивного элемента (катушки) и емкостного элемента (конденсатора).

2. Длина волны (λ) связана с резонансной частотой колебательного контура через формулу: \[ \lambda = \frac{c}{f} \] где \( c \) — скорость света (приблизительно \( 3 \times 10^8 \) м/с), \( f \) — резонансная частота.

3. Частота колебаний в контуре определённая как \[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \] где \( L \) — индуктивность, \( C \) — емкость конденсатора.

Используя эти понятия, можно решить задачу.

Шаги решения:

1. Установим начальные условия:

   • Длина волны \( \lambda_1 = 250 \) м.
   • Длина волны \( \lambda_2 = 200 \) м.
   • Расстояние между пластинами начального конденсатора \( d_1 = 8 \) мм = 0.008 м.

2. Находим частоты для двух длин волн: \[ f_1 = \frac{c}{\lambda_1} = \frac{3 \times 10^8}{250} = 1.2 \times 10^6 \text{ Гц} \] \[ f_2 = \frac{c}{\lambda_2} = \frac{3 \times 10^8}{200} = 1.5 \times 10^6 \text{ Гц} \]

3. Известно, что \( f \) зависит от емкости \( C \): Так как индуктивность \( L \) постоянна (не меняется), то изменение частоты связано с изменением емкости: \[ f \propto \frac{1}{\sqrt{C}} \] Таким образом, соотношение между частотами и емкостями будет: \[ \frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{C_2}{C_1}} \]

4. Вычисляем емкости: Перепишем уравнение: \[ \left( \frac{f_1}{f_2} \right)^2 = \frac{C_2}{C_1} \]

5. Находим относительную емкость: \[ \frac{f_1}{f_2} = \frac{1.2 \times 10^6}{1.5 \times 10^6} = 0.8 \implies \left(0.8\right)^2 = 0.64 \implies \frac{C_2}{C_1} = 0.64 \] Значит, емкость \( C_2 = 0.64 C_1 \).

6. Связь между емкостью и расстоянием: Емкость конденсатора определяется формулой: \[ C = \frac{\varepsilon_0 \cdot S}{d} \] где \( \varepsilon_0 \) — диэлектрическая проницаемость воздуха, \( S \) — площадь пластин, \( d \) — расстояние между ними.

   Из этого следует, что емкость обратно пропорциональна расстоянию между пластинами: \[ C \propto \frac{1}{d} \] Следовательно: \[ \frac{C_1}{C_2} = \frac{d_2}{d_1} = \frac{d_2}{0.008} \]

7. Составляем уравнение: У нас есть: \[ C_1 = 0.64 C_2 \implies \frac{C_2}{C_1} = \frac{1}{0.64} = \frac{d_1}{d_2} \]

8. Ищем \( d_2 \): Получаем: \[ \frac{d_1}{d_2} = 1.5625 \implies 0.008 = 1.5625 d_2 \implies d_2 = \frac{0.008}{1.5625} \approx 0.00512 \text{ м} = 5.12 \text{ мм} \]

Ответ:

Чтобы настроить контур на длину волны 200 м, расстояние между пластинами конденсатора необходимо уменьшить до примерно 5.12 мм.