Косинус скобка открывается 1/2x - p/4 = √2 / 2

Давай разберем задачу, в которой нам нужно решить уравнение: \[ \cos\left(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] ### Шаг 1: Определим, что означает уравнение Значение \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) соответствует косинусу углов \(45^\circ\) (или \(\frac{\pi}{4}\) радиан) и \(315^\circ\) (или \(\frac{7\pi}{4}\) радиан), так как: \[ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{и} \quad \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] ### Шаг 2: Запишем уравнение для угла Для косинуса, у нас есть два случая относительно угла \(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4}\): 1. \(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) (где \(k\) — целое число) 2. \(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi\) ### Шаг 3: Решим уравнение для первого случая Решим первое уравнение: \[ \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] Сначала добавим \(\frac{\pi}{4}\) к обеим сторонам: \[ \frac{1}{2}x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] \[ \frac{1}{2}x = \frac{2\pi}{4} + 2k\pi \] \[ \frac{1}{2}x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \] Теперь умножим обе стороны на 2: \[ x = \pi + 4k\pi \] \[ x = (1 + 4k)\pi \] ### Шаг 4: Решим уравнение для второго случая Теперь решим второе уравнение: \[ \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \] Добавим \(\frac{\pi}{4}\) к обеим сторонам: \[ \frac{1}{2}x = \frac{7\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] \[ \frac{1}{2}x = \frac{8\pi}{4} + 2k\pi \] \[ \frac{1}{2}x = 2\pi + 2k\pi \] Теперь умножим обе стороны на 2: \[ x = 4\pi + 4k\pi \] \[ x = 4(1 + k)\pi \] ### Шаг 5: Итоговые значения Соберем все значения: 1. Из первого случая получаем \(x = (1 + 4k)\pi\) 2. Из второго случая получаем \(x = 4(1 + k)\pi\) Где \(k\) — любое целое число. Это означает, что решения уравнения будут: \[ x = n\pi \quad \text{где} \quad n - \text{целое число, равное либо 1 либо 4} \] Таким образом, мы нашли общее решение уравнения.