Косинус скобка открывается 1/2x - p/4 = √2 / 2
Давай разберем задачу, в которой нам нужно решить уравнение:
\[ \cos\left(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Шаг 1: Определим, что означает уравнение
Значение \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) соответствует косинусу углов \(45^\circ\) (или \(\frac{\pi}{4}\) радиан) и \(315^\circ\) (или \(\frac{7\pi}{4}\) радиан), так как:
\[ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{и} \quad \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Шаг 2: Запишем уравнение для угла
Для косинуса, у нас есть два случая относительно угла \(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4}\):
- \(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) (где \(k\) — целое число)
- \(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi\)
Шаг 3: Решим уравнение для первого случая
Решим первое уравнение:
\[ \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]
Сначала добавим \(\frac{\pi}{4}\) к обеим сторонам:
\[ \frac{1}{2}x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] \[ \frac{1}{2}x = \frac{2\pi}{4} + 2k\pi \] \[ \frac{1}{2}x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \]
Теперь умножим обе стороны на 2:
\[ x = \pi + 4k\pi \] \[ x = (1 + 4k)\pi \]
Шаг 4: Решим уравнение для второго случая
Теперь решим второе уравнение:
\[ \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \]
Добавим \(\frac{\pi}{4}\) к обеим сторонам:
\[ \frac{1}{2}x = \frac{7\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] \[ \frac{1}{2}x = \frac{8\pi}{4} + 2k\pi \] \[ \frac{1}{2}x = 2\pi + 2k\pi \]
Теперь умножим обе стороны на 2:
\[ x = 4\pi + 4k\pi \] \[ x = 4(1 + k)\pi \]
Шаг 5: Итоговые значения
Соберем все значения:
- Из первого случая получаем \(x = (1 + 4k)\pi\)
- Из второго случая получаем \(x = 4(1 + k)\pi\)
Где \(k\) — любое целое число. Это означает, что решения уравнения будут:
\[ x = n\pi \quad \text{где} \quad n - \text{целое число, равное либо 1 либо 4} \]
Таким образом, мы нашли общее решение уравнения.
