Из вершины  � C равностороннего треугольника  � � � ABC, сторона которого равна  10 10, восстановлен перпендикуляр  � � CS, равный  5 5. Найди градусную меру двугранного угла  � � � � SABC. Выбери верный вариант.

Чтобы решить задачу, необходимо понять, как устроены элементы, указанные в условии. У нас есть равносторонний треугольник \( ABC \) со стороной \( 10 \) и восстановленный перпендикуляр \( CS \) длиной \( 5 \). Мы должны найти градусную меру двугранного угла \( SABC \). ### Шаг 1: Построение треугольника 1. **Рисуем треугольник \( ABC \)**: Равносторонний треугольник имеет все стороны равными, поэтому все углы равны \( 60^\circ \). 2. **Рисуем перпендикуляр \( CS \)**: Перпендикуляр из вершины \( C \) вниз к плоскости \( ABC \) будет образовывать угол с плоскостью треугольника. ### Шаг 2: Находим координаты точек Чтобы понять угол \( SABC \), удобно использовать систему координат: - Пусть \( A(0, 0, 0) \), - \( B(10, 0, 0) \), - Чтобы найти \( C \), мы можем использовать свойства равностороннего треугольника. Оно будет находиться в точке \( C\left(5, 5\sqrt{3}, 0\right) \) (высота равностороннего треугольника считается как \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \), где \( a \) - длина стороны). ### Шаг 3: Определяем точку \( S \) Поскольку высота \( CS = 5 \), координаты \( S \) можно записать как: \[ S(5, 5\sqrt{3}, 5) \] ### Шаг 4: Векторы Теперь вычислим векторы, необходимые для вычисления двугранного угла: - Вектор \( \overrightarrow{SA} \): \( A - S = (0 - 5, 0 - 5\sqrt{3}, 0 - 5) = (-5, -5\sqrt{3}, -5) \) - Вектор \( \overrightarrow{SB} \): \( B - S = (10 - 5, 0 - 5\sqrt{3}, 0 - 5) = (5, -5\sqrt{3}, -5) \) ### Шаг 5: Находим угол между векторами Для нахождения угла между векторами мы можем использовать скалярное произведение: \[ \overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{SB} = (-5)(5) + (-5\sqrt{3})(-5\sqrt{3}) + (-5)(-5) \] \[ = -25 + 75 + 25 = 75 \] Далее найдём длины векторов: \[ |\overrightarrow{SA}| = \sqrt{(-5)^2 + (-5\sqrt{3})^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 75 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{SB}| = \sqrt{(5)^2 + (-5\sqrt{3})^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 75 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \] Теперь можем вычислить косинус угла: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{SB}}{|\overrightarrow{SA}| \cdot |\overrightarrow{SB}|} = \frac{75}{(5\sqrt{5})^2} = \frac{75}{125} = 0.6 \] ### Шаг 6: Находим угол Теперь находим угол \( \theta \): \[ \theta = \cos^{-1}(0.6) \] Используя таблицу значений косинуса, мы можем сказать, что: \[ \theta \approx 53.13^\circ \] ### Ответ Градусная мера двугранного угла \( SABC \) равна примерно \( 53.13^\circ \).