Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 28 28 часов. Если бы половину работы выполнил один из них, а затем оставшуюся…

Для решения задачи введем некоторые обозначения:

• Пусть \( x \) — время, за которое первый дизайнер оформляет учебник алгебры самостоятельно.
• Пусть \( y \) — время, за которое второй дизайнер оформляет учебник алгебры самостоятельно.

Теперь определим производительность каждого дизайнера:

• Первый дизайнер выполняет \( \frac{1}{x} \) части работы за 1 час.
• Второй дизайнер выполняет \( \frac{1}{y} \) части работы за 1 час.

Шаг 1: Работа в команде

Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ за 28 часов. Это можно записать уравнением: \[ 28 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1, \] где 1 обозначает, что работа выполнена полностью.

Упростим это уравнение: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{28}. \quad (1) \]

Шаг 2: Работа поочередно

Теперь рассмотрим вторую ситуацию: если один дизайнер выполняет половину работы, а затем второй завершает оставшуюся половину, работа будет выполнена за 81 час.

Половина работы требует:

• Для первого дизайнера: \( \frac{1}{2} \div \frac{1}{x} = \frac{x}{2} \) часов.
• Для второго дизайнера: \( \frac{1}{2} \div \frac{1}{y} = \frac{y}{2} \) часов.

Таким образом, у нас есть уравнение для времени в этой ситуации: \[ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 81. \] Умножив всё на 2, получаем: \[ x + y = 162. \quad (2) \]

Шаг 3: Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{28} \)
2. \( x + y = 162 \)

Сначала из уравнения (2) выразим \( y \): \[ y = 162 - x. \]

Подставим \( y \) в уравнение (1): \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{162 - x} = \frac{1}{28}. \]

Умножим всё уравнение на \( x(162 - x) \) (для исключения дробей): \[ (162 - x) + x = \frac{x(162 - x)}{28}. \] Упрощаем: \[ 162 = \frac{x(162 - x)}{28}. \] Умножаем обе стороны на 28: \[ 28 \cdot 162 = x(162 - x). \] Считаем \( 28 \cdot 162 = 4536 \): \[ 4536 = x(162 - x). \] Распишем уравнение: \[ x^2 - 162x + 4536 = 0. \]

Шаг 4: Используем формулу дискриминанта

Теперь можем применить формулу всей квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = (-162)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4536 = 26244 - 18144 = 8100. \]

Так как \( D > 0 \), у нас есть два решения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{162 \pm \sqrt{8100}}{2} = \frac{162 \pm 90}{2}. \] Находим корни:

1. \( x_1 = \frac{252}{2} = 126 \)
2. \( x_2 = \frac{72}{2} = 36 \)

Шаг 5: Найдем \( y \)

Теперь находим \( y \) из уравнения \( y = 162 - x \):

• Если \( x = 126 \), то \( y = 36 \).
• Если \( x = 36 \), то \( y = 126 \).

Таким образом:

• Первый дизайнер оформляет учебник за \( 126 \) часов.
• Второй дизайнер выполняет ту же работу за \( 36 \) часов.

Ответ:

Первый дизайнер: 126 часов
Второй дизайнер: 36 часов