Для решения задачи введем некоторые обозначения:
- Пусть ( x ) — время, за которое первый дизайнер оформляет учебник алгебры самостоятельно.
- Пусть ( y ) — время, за которое второй дизайнер оформляет учебник алгебры самостоятельно.
Теперь определим производительность каждого дизайнера:
- Первый дизайнер выполняет ( \frac{1}{x} ) части работы за 1 час.
- Второй дизайнер выполняет ( \frac{1}{y} ) части работы за 1 час.
Шаг 1: Работа в команде
Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ за 28 часов. Это можно записать уравнением:
[
28 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1,
]
где 1 обозначает, что работа выполнена полностью.
Упростим это уравнение:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{28}. \quad (1)
]
Шаг 2: Работа поочередно
Теперь рассмотрим вторую ситуацию: если один дизайнер выполняет половину работы, а затем второй завершает оставшуюся половину, работа будет выполнена за 81 час.
Половина работы требует:
- Для первого дизайнера: ( \frac{1}{2} \div \frac{1}{x} = \frac{x}{2} ) часов.
- Для второго дизайнера: ( \frac{1}{2} \div \frac{1}{y} = \frac{y}{2} ) часов.
Таким образом, у нас есть уравнение для времени в этой ситуации:
[
\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 81.
]
Умножив всё на 2, получаем:
[
x + y = 162. \quad (2)
]
Шаг 3: Решение системы уравнений
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- ( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{28} )
- ( x + y = 162 )
Сначала из уравнения (2) выразим ( y ):
[
y = 162 - x.
]
Подставим ( y ) в уравнение (1):
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{162 - x} = \frac{1}{28}.
]
Умножим всё уравнение на ( x(162 - x) ) (для исключения дробей):
[
(162 - x) + x = \frac{x(162 - x)}{28}.
]
Упрощаем:
[
162 = \frac{x(162 - x)}{28}.
]
Умножаем обе стороны на 28:
[
28 \cdot 162 = x(162 - x).
]
Считаем ( 28 \cdot 162 = 4536 ):
[
4536 = x(162 - x).
]
Распишем уравнение:
[
x^2 - 162x + 4536 = 0.
]
Шаг 4: Используем формулу дискриминанта
Теперь можем применить формулу всей квадратного уравнения:
[
D = b^2 - 4ac = (-162)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4536 = 26244 - 18144 = 8100.
]
Так как ( D > 0 ), у нас есть два решения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{162 \pm \sqrt{8100}}{2} = \frac{162 \pm 90}{2}.
]
Находим корни:
- ( x_1 = \frac{252}{2} = 126 )
- ( x_2 = \frac{72}{2} = 36 )
Шаг 5: Найдем ( y )
Теперь находим ( y ) из уравнения ( y = 162 - x ):
- Если ( x = 126 ), то ( y = 36 ).
- Если ( x = 36 ), то ( y = 126 ).
Таким образом:
- Первый дизайнер оформляет учебник за ( 126 ) часов.
- Второй дизайнер выполняет ту же работу за ( 36 ) часов.
Ответ:
Первый дизайнер: 126 часов
Второй дизайнер: 36 часов
