На стороне TK треугольника TKA взята точка F так, что TF = 9/10 TA, а на стороне TA - точка Z так, что TZ = 9/10 TK. Известно, что KA = 30 см. Найдите сторону FZ.

Для решения задачи начнем с того, что сделаем необходимые обозначения и воспользуемся свойствами подобия треугольников. 1. **Обозначим стороны треугольника TKA:** - Пусть \( TA = x \) - Пусть \( TK = y \) - Дано \( KA = 30 \) см. 2. **Определение точек F и Z:** - Из условия задачи, точка F на стороне TK разбивает ее на два отрезка: \( TF = \frac{9}{10} TA \) и \( FK = \frac{1}{10} TA \). Это дает нам: \[ TF = \frac{9}{10} x \] \[ FK = \frac{1}{10} x \] - Точка Z на стороне TA разбивает ее на два отрезка: \( TZ = \frac{9}{10} TK \) и \( ZA = \frac{1}{10} TK \). Это дает: \[ TZ = \frac{9}{10} y \] \[ ZA = \frac{1}{10} y \] 3. **Использование подобия треугольников:** Поскольку точки F и Z делят стороны треугольника, то треугольник TFZ будет подобен треугольнику TKA. Соотношение сторон будет одинаковым. 4. **Найдём длинну стороны FZ:** Для нахождения длины стороны FZ нужно понимать, что длина этой стороны составляется из отрезков TF и TZ. Сначала находим длины этих отрезков: \[ FZ = TF + TZ = \frac{9}{10} x + \frac{9}{10} y. \] Мы можем выразить \( y \) через \( x \) из подобия треугольников. В нашем случае, аналог отношений сторон треугольников: \[ \frac{KA}{TK} = \frac{TF}{TZ} = \frac{1}{9} \text{ (так как $TZ = \frac{9}{10} TK$ и $TF = \frac{9}{10} TA$)} \] Зная, что KA = 30 см, можем найти TK: \[ \frac{30}{y} = \frac{1}{9} \Rightarrow y = 30 \cdot 9 = 270 \text{ см.} \] Теперь можем найти \( x \): \[ \frac{x}{y} = \frac{10}{9} \Rightarrow x = 270 \cdot \frac{10}{9} = 300 \text{ см.} \] 5. **Считаем FZ:** Теперь, подставив \( x \) и \( y \) в выражение для FZ: \[ TF = \frac{9}{10} \cdot 300 = 270 \text{ см} \quad и \quad TZ = \frac{9}{10} \cdot 270 = 243 \text{ см.} \] \[ FZ = TF + TZ = 270 + 243 = 513 \text{ см.} \] 6. **Ответ:** Таким образом, длина стороны FZ равна 513 см.