В треугольнике АВС угол С прямой, АС = 3, ВС = 4. Найдите длину вектора CA - BA.

Давайте разберём задачу про треугольник ABC, где угол C прямой.

Шаг 1: Определение сторон треугольника.
У нас есть треугольник ABC с углом C, равным 90°. Это значит, что стороны AC и BC перпендикулярны друг другу.

• AC = 3 (это одна из катетов)
• BC = 4 (это другой катет)

Шаг 2: Найдем длину стороны AB.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим значения:
\[ AB^2 = 3^2 + 4^2 \]
\[ AB^2 = 9 + 16 \]
\[ AB^2 = 25 \]

Теперь найдём длину AB:
\[ AB = \sqrt{25} = 5 \]

Шаг 3: Определение векторов.
Теперь найдем векторы CA и BA.

Выберем координатную систему:

• Точка C будет находиться в начале координат (0, 0).
• Точка A, находящаяся на расстоянии 3 по оси Y (поскольку AC перпендикулярно BC) будет: \( A(0, 3) \).
• Точка B, находящаяся на расстоянии 4 по оси X, будет: \( B(4, 0) \).

Теперь вычислим векторы:

• Вектор CA:
  \[ CA = A - C = (0, 3) - (0, 0) = (0, 3) \]

• Вектор BA:
  \[ BA = A - B = (0, 3) - (4, 0) = (0 - 4, 3 - 0) = (-4, 3) \]

Шаг 4: Найдем вектор CA - BA.
Теперь вычтем вектор BA из вектора CA:
\[ CA - BA = (0, 3) - (-4, 3) \]

Чтобы выполнить вычитание векторов, вычитаем соответствующие координаты:
\[ = (0 - (-4), 3 - 3) \]
\[ = (0 + 4, 3 - 3) \]
\[ = (4, 0) \]

Ответ:
Таким образом, длина вектора \( CA - BA \) равна \( (4, 0) \). Это означает, что вектор направлен вправо и имеет длину 4.