(Х⁴-2х²)²-14(х⁴-2х²) =15 Решите уравнение методом замены переменной

Для решения уравнения \((x^4 - 2x^2)^2 - 14(x^4 - 2x^2) = 15\) методом замены переменной, начнем с упрощения уравнения. ### Шаг 1: Ввод замены Обозначим: \[ y = x^4 - 2x^2 \] Тогда уравнение запишется в следующем виде: \[ y^2 - 14y = 15 \] ### Шаг 2: Перенос всех членов в одну сторону Переносим \(15\) в левую сторону: \[ y^2 - 14y - 15 = 0 \] ### Шаг 3: Решение квадратного уравнения Теперь решим полученное квадратное уравнение. Для этого используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 1\), \(b = -14\), \(c = -15\). Вычисляем дискриминант: \[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 \] ### Шаг 4: Находим корни уравнения Теперь найдём корни уравнения с помощью формулы корней: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем найденные значения: \[ y = \frac{14 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{14 \pm 16}{2} \] Находим два значения \(y\): 1. \(y_1 = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15\) 2. \(y_2 = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1\) ### Шаг 5: Возвращаемся к переменной \(x\) Теперь вернёмся к выражению \(y = x^4 - 2x^2\) и рассмотрим оба случая. #### Случай 1: \(y = 15\) \[ x^4 - 2x^2 = 15 \] Переносим 15 в левую сторону: \[ x^4 - 2x^2 - 15 = 0 \] Обозначим \(z = x^2\). Тогда у нас получается: \[ z^2 - 2z - 15 = 0 \] Находим дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \] Находим корни: \[ z = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 8}{2} \] Корни: 1. \(z_1 = \frac{10}{2} = 5\) 2. \(z_2 = \frac{-6}{2} = -3\) (отрицательное значение, не подходит) Теперь вернёмся к \(x\): \[ x^2 = 5 \implies x = \sqrt{5} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{5} \] #### Случай 2: \(y = -1\) \[ x^4 - 2x^2 = -1 \] Переносим -1 в левую сторону: \[ x^4 - 2x^2 + 1 = 0 \] Обозначим \(z = x^2\): \[ z^2 - 2z + 1 = 0 \] Это квадратное уравнение имеет дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0 \] Находим корень: \[ z = \frac{2}{2} = 1 \] Теперь вернёмся к \(x\): \[ x^2 = 1 \implies x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \] ### Шаг 6: Итоговые решения Таким образом, у нас есть следующие решения уравнения: \[ x = \sqrt{5}, \quad x = -\sqrt{5}, \quad x = 1, \quad x = -1 \] **Ответ:** \(x = \sqrt{5}, \, x = -\sqrt{5}, \, x = 1, \, x = -1\)