Контрольная работа по теме «Площади» 8 класс. Вариант 1 1. Сторона параллелограмма равна 7 см, а высота, проведенная к этой стороне равна 9 см. Найдите площадь параллелограмма. 2.…

Давайте по порядку разберём каждую задачу из контрольной работы по теме «Площади» для 8 класса. Я предоставлю подробные объяснения решения для каждой задачи.

Вариант 1

1. Сторона параллелограмма равна 7 см, а высота, проведенная к этой стороне равна 9 см. Найдите площадь параллелограмма.

   Решение: Площадь параллелограмма рассчитывается по формуле: \[ S = a \cdot h \] где \( S \) — площадь, \( a \) — сторона параллелограмма, \( h \) — высота.

   Подставляем известные значения: \[ S = 7 \, \text{см} \cdot 9 \, \text{см} = 63 \, \text{см}^2 \]

   Ответ: Площадь параллелограмма равна 63 см².

2. Катеты прямоугольного треугольника равны 21 см и 28 см. Найдите гипотенузу.

   Решение: Для нахождения гипотенузы используется теорема Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] где \( c \) — гипотенуза, \( a \) и \( b \) — катеты.

   Подставляем: \[ c = \sqrt{21^2 + 28^2} = \sqrt{441 + 784} = \sqrt{1225} = 35 \, \text{см} \]

   Ответ: Гипотенуза равна 35 см.

3. Разность оснований трапеции равна 4 см, а высота трапеции равна 8 см. Найдите основания трапеции, если ее площадь равна 72 см².

   Решение: Площадь трапеции рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \] где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота. Пусть \( a \) — большее основание, \( b \) — меньшее. Тогда: \[ a - b = 4 \] Подставим в формулу для площади: \[ 72 = \frac{(b + 4 + b) \cdot 8}{2} \] \( S = \frac{(2b + 4) \cdot 8}{2} = (2b + 4) \cdot 4 \) \[ 72 = (2b + 4) \cdot 4 \implies 18 = 2b + 4 \implies 2b = 14 \implies b = 7 \] Теперь найдём \( a \): \[ a = b + 4 = 7 + 4 = 11 \]

   Ответ: Основания трапеции равны 11 см и 7 см.

4. Найдите сторону треугольника, если высота, опущенная на эту сторону, в 2 раза меньше ее, а площадь треугольника равна 121 см².

   Решение: Обозначим сторону треугольника как \( x \). Тогда высота будет равна \( \frac{x}{2} \). Площадь треугольника рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h \] Подставляем в формулу: \[ 121 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{x}{2} \] \[ 121 = \frac{x^2}{4} \implies x^2 = 484 \implies x = 22 \]

   Ответ: Сторона треугольника равна 22 см.

5. Периметр параллелограмма равен 38 см. Найдите площадь параллелограмма, если один из углов на 60° больше прямого, а одна из сторон равна 8 см.

   Решение: Периметр \( P \) равен \( 2(a + b) \). Если одна сторона \( a = 8 \) см, то: \[ 38 = 2(8 + b) \implies 38 = 16 + 2b \implies 2b = 22 \implies b = 11 \] Теперь можем найти площадь, используя формулу: \[ S = a \cdot b \cdot \sin(\theta) \] Угол \( \theta = 120° \): \[ S = 8 \cdot 11 \cdot \sin(120°) \] \(\sin(120°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ S = 8 \cdot 11 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 44\sqrt{3} \]

   Ответ: Площадь параллелограмма равна \( 44\sqrt{3} \, \text{см}^2 \).

Вариант 2

1. Сторона параллелограмма равна 8 см, а высота, проведенная к этой стороне равна 12 см. Найдите площадь параллелограмма.

   Решение: \[ S = a \cdot h \] \[ S = 8 \cdot 12 = 96 \, \text{см}^2 \]

   Ответ: Площадь параллелограмма равна 96 см².

2. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см. Найдите гипотенузу.

   Решение: \[ c = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 \, \text{см} \]

   Ответ: Гипотенуза равна 30 см.

3. Разность оснований трапеции равна 4 см, а высота трапеции равна 9 см. Найдите основания трапеции, если ее площадь равна 63 см².

   Решение: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} = 63 \] Подставляем высоту: \[ 63 = \frac{(b + 4 + b) \cdot 9}{2} \] \[ 63 = \frac{(2b + 4) \cdot 9}{2} \implies 126 = (2b + 4) \cdot 9 \implies 14 = 2b + 4 \implies 2b = 10 \implies b = 5 \] Тогда \( a = 9 \).

   Ответ: Основания трапеции равны 9 см и 5 см.

4. Найдите сторону треугольника, если высота, опущенная на эту сторону, в 2 раза меньше ее, а площадь треугольника равна 144 см².

   Решение: Обозначим сторону как \( x \). Высота будет тогда \( \frac{x}{2} \): \[ 144 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{x}{2} = \frac{x^2}{4} \] \[ x^2 = 576 \implies x = 24 \]

   Ответ: Сторона треугольника равна 24 см.

5. Периметр параллелограмма равен 50 см. Найдите площадь параллелограмма, если один из углов на 60° больше прямого, а одна из сторон равна 12 см.

   Решение: Периметр: \[ 50 = 2(12 + b) \implies 25 = 12 + b \implies b = 13 \] Площадь: \[ S = a \cdot b \cdot \sin(\theta) \] Угол \( 120° \): \[ S = 12 \cdot 13 \cdot \sin(120°) = 12 \cdot 13 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 78\sqrt{3} \]

   Ответ: Площадь параллелограмма равна \( 78\sqrt{3} \, \text{см}^2 \).

Таким образом, я разъяснил каждую задачу из контрольной работы. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно более подробное объяснение, пожалуйста, дайте знать!