Докажи, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (16; 2), B(28; 10), C(20; 22) и D(8; 14), является квадратом; найди его площадь.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является квадратом, необходимо выполнить несколько шагов: проверить, что все стороны равны и что углы между соседними сторонами равны 90 градусов. Также найдем площадь этого квадрата.

1. Найдем длины сторон квадрата:
   Для этого будем использовать формулу расстояния между двумя точками:
   \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

   • Сторона AB: \( A(16; 2) \) и \( B(28; 10) \)
     \( AB = \sqrt{(28 - 16)^2 + (10 - 2)^2} = \sqrt{(12)^2 + (8)^2} = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} \)

   • Сторона BC: \( B(28; 10) \) и \( C(20; 22) \)
     \( BC = \sqrt{(20 - 28)^2 + (22 - 10)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (12)^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} \)

   • Сторона CD: \( C(20; 22) \) и \( D(8; 14) \)
     \( CD = \sqrt{(8 - 20)^2 + (14 - 22)^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-8)^2} = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} \)

   • Сторона DA: \( D(8; 14) \) и \( A(16; 2) \)
     \( DA = \sqrt{(16 - 8)^2 + (2 - 14)^2} = \sqrt{(8)^2 + (-12)^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} \)

   Все четыре стороны равны: \( AB = BC = CD = DA = 4\sqrt{13} \).

2. Проверим углы между сторонами:
   Используем скалярное произведение векторов. Для этого определим векторы:

   • Вектор \( \vec{AB} = (28 - 16; 10 - 2) = (12; 8) \)
   • Вектор \( \vec{BC} = (20 - 28; 22 - 10) = (-8; 12) \)
   • Вектор \( \vec{CD} = (8 - 20; 14 - 22) = (-12; -8) \)
   • Вектор \( \vec{DA} = (16 - 8; 2 - 14) = (8; -12) \)

   Вычислим скалярное произведение векторов:

   • \( \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 12 \cdot (-8) + 8 \cdot 12 = -96 + 96 = 0 \) (угол 90°)
   • \( \vec{BC} \cdot \vec{CD} = (-8) \cdot (-12) + 12 \cdot (-8) = 96 - 96 = 0 \) (угол 90°)
   • \( \vec{CD} \cdot \vec{DA} = (-12) \cdot 8 + (-8) \cdot (-12) = -96 + 96 = 0 \) (угол 90°)
   • \( \vec{DA} \cdot \vec{AB} = 8 \cdot 12 + (-12) \cdot 8 = 96 - 96 = 0 \) (угол 90°)

   Все углы равны 90°, поэтому четырёхугольник ABCD является квадратом.

3. Найдем площадь квадрата:
   Площадь квадрата вычисляется по формуле \( S = a^2 \), где \( a \) — длина стороны.
   Длина стороны: \( a = 4\sqrt{13} \)

   \( S = (4\sqrt{13})^2 = 16 \cdot 13 = 208 \)

Таким образом, мы доказали, что четырёхугольник ABCD является квадратом, и его площадь составляет 208 квадратных единиц.