Чтобы решить задачу о вероятности попадания стрелка в мишень, мы можем использовать биномиальное распределение. Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Дано:
- Вероятность попадания в мишень при одном выстреле (p) = 0.6
- Количество выстрелов (n) = 6
- Нам нужно найти вероятность того, что стрелок попадет в мишень не менее 2 раз.
Обозначение:
Обозначим количество попаданий как X. X следует биномиальному распределению с параметрами n и p, то есть X ~ B(n, p).
Формула биномиального распределения:
Вероятность того, что стрелок попадет ровно k раз в m выстрелов, можно вычислить по формуле:
[
P(X = k) = C(n, k) p^k (1-p)^{(n-k)}
]
где:
- (C(n, k)) — биномиальный коэффициент (число сочетаний) и вычисляется как (C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!})
- (p) — вероятность успешного исхода (попадания)
- (1-p) — вероятность неудачного исхода (промаха)
Найдем вероятность для значений k от 0 до 1:
Нам нужно найти вероятность того, что стрелок попадает не менее 2 раз, то есть:
[
P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1))
]
1. Вычислим P(X = 0):
[
P(X = 0) = C(6, 0) \cdot (0.6)^0 \cdot (0.4)^6 = 1 \cdot 1 \cdot (0.4)^6 \approx 0.004096
]
2. Вычислим P(X = 1):
[
P(X = 1) = C(6, 1) \cdot (0.6)^1 \cdot (0.4)^5 = 6 \cdot 0.6 \cdot (0.4)^5 = 6 \cdot 0.6 \cdot 0.01024 \approx 0.073728
]
3. Найдем P(X < 2):
[
P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0.004096 + 0.073728 \approx 0.077824
]
4. Теперь найдем P(X ≥ 2):
[
P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) \approx 1 - 0.077824 \approx 0.922176
]
Ответ:
Вероятность того, что стрелок попадает в мишень не менее 2 раз из 6 выстрелов, составляет примерно 0.9222 или 92.22%.
